Теорія напружено-деформованого стану

1. Через кожну точку навантаженого тіла можна провести безліч по різному орієнтованих площадок. Сукупність напружень, що виникають на цих площадках, характеризує напружений стан в точці.

Діючі по гранях напруження записують у вигляді матриці, яку називають тензором напружень

.

(3.1)

2.

Якщо розглядати і вісь , то . Такі осі , , назвемо головними.

Площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю називають головними.Нормальні напруження, що діють на головних площадках, називають головними напруженнями.

Припустимо, що в будь-якій точці напруженого тіла існує принаймні одна головна площадка. Нехай площадка з нормаллю (рис. 3.3,б) є головною. Тоді повне напруження (воно ж головне) спрямоване по нормалі , а його компоненти ; ; .

4. Отримаємо:

(3.8)

Напружений стан в точці
Об’ємний	Плоский	Лінійний

Таблиця 3.1

6. . Розтягуюче нормальне напруження вважатимемо додатнім, а стискаюче від’ємним. Дотичне напруження додатне, якщо його вектор намагається обертати елементарний паралелепіпед за годинниковою стрілкою відносно довільної точки, що знаходиться усередині паралелепіпеда.

7.На двох взаємно перпендикулярних площадках складові дотичних напружень перпендикулярні до спільного ребра, рівні і спрямовані чи до ребра чи від ребра.

12.

Площадки, на яких дотичні напруження набувають максимальних і мінімальних значень називають площадками зсуву. Для визначення їх положення дослідимо на екстремум функцію (3.13):

,

звідки

,

(3.21)

14. Сукупність лінійних деформацій в різних напрямках і кутових деформацій в різних площинах, що проходять через розглядану точку характеризує деформований стан в точці.

15.

Користуючись (2.10) і (2.17) запишемо вирази деформацій для всіх трьох випадків:

для : , ;

для : , ;

для : , .

При одночасній дії трьох головних напружень повні відносні деформації

; ; ,

або

(3.25)

Отримані залежності (3.25) є аналітичним виразом узагальненого закону Гука для ізотропного тіла.

16. Відносна зміна об’єму (відносна об’ємна деформація)

.

(3.27)

17-19.Перша теорія міцності має задовільну збіжність з експериментальними даними лише для крихких матеріалів при умові, що абсолютна величина одного з головних напружень значно більша інших.

Нагадаємо, що при центральному розтягу-стиску розрахунок на міцність ми проводимо за найбільшими нормальними напруженнями, однак треба розуміти, що у цьому випадку в небезпечних точках виникає лінійний напружений стан і розрахунок за будь-якою теорією міцності дасть однаковий результат.

Друга теорія, або теорія найбільших лінійних деформацій це гіпотеза про те, що міцність матеріалу при складному напруженому стані буде забезпечена, якщо найбільша відносна лінійна деформація не перевищує допустимої, визначеної при лінійному напруженому стані.

За цією теорією умова міцності, наприклад, для пластичного матеріалу, має вигляд:

,

якщо, , то враховуючи (3.25) отримаємо

.

(3.34)

Друга теорія міцності має задовільну збіжність з експериментальними даними тільки при деяких напружених станах для крихких матеріалів, тому на практиці майже не застосовується.

Третя теорія, або теорія найбільших дотичних напружень це гіпотеза про те, що міцність матеріалу при складному напруженому стані буде забезпеченою, якщо найбільше дотичне напруження не перевищує допустимого, що визначене при лінійному напруженому стані.

Умова міцності за третьою теорією має вигляд

.

Найбільше дотичне напруження при одновісному розтягу або стиску рівне половині найбільшого нормального напруження , отже

.

(3.35

Третя теорія міцності має хорошу збіжність з дослідними даними для пластичних матеріалів.

Четверта, або енергетична теорія міцності це гіпотеза про те, що міцність матеріалу при складному напруженому стані буде забезпечена, якщо питома потенціальна енергія деформації не перевищує допустимого значення, що встановлене експериментально при лінійному напруженому стані.

Умова міцності за четвертою теорією має вигляд

,

враховуючи (2.35) і (3.31) отримаємо

(3.36)

Експериментальні дослідження показують, що четверта теорія дає більш правдиві результати якщо враховувати лише потенціальну енергію формозміни і не враховувати енергію зміни об’єму. Для цього, аналізуючи залежність (3.29), приймемо , тоді вираз (3.36) набуде вигляду

,

або

.

(3.37)

Четверта теорія міцності має досить хорошу збіжність з експериментальними даними для пластичних матеріалів.

Зупинимося також на теорії міцності граничних напружених станів (теорія міцності Мора). Вона базується на логічній систематиці ряду експериментальних результатів.

Згідно цієї теорії за критерій міцності приймають величину

,

де коефіцієнт .

Інакше кажучи, за теорією міцності Мора руйнування матеріалу при будь-якому складному напруженому стані настане тоді, коли величина перевищить допустиме напруження на розтяг, що визначене при лінійному напруженому стані.

20. Умова міцності за теорією Мора має вигляд

.

(3.39)

Теорію Мора застосовують при розрахунку конструкцій із крихких матеріалів. Вона має кращу збіжність з експериментальними даними, ніж перша і друга теорії міцності, особливо для напружених станів, при яких і .

Очевидно, що для пластичних матеріалів ( ) і вираз (3.39) співпадає з (3.35).

Для дуже крихких матеріалів, що практично не здатні сприймати розтягуючі напруження можна вважати, що і формула (3.39) перетворюється в умову міцності за першою теорією.

Поиск по сайту: