ШВИДКІСТЬ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Поняття про швидкість руху близько до елементарних уявлень, і тому засвоєння фізичного змісту цієї основної характеристики руху точки сполучено з відомими труднощами.

Розглянемо спочатку окремий випадок - швидкість рівномірного прямолінійного руху. Рух називається прямолінійним, якщо траєкторія точки є прямою лінією. Рух називається рівномірним, якщо дугова координата точки за однакові проміжки часу має однаковий приріст.

Складемо векторне рівняння рівномірного прямолінійного руху точки. Нехай - радіус-вектор початкового положення точки М, що відповідає початковому моменту часу t₀, – радіус-вектор точки в довільний момент часу t. (рис. 5). Оскільки за означенням рівномірного прямолінійного руху точка М за рівні проміжки часу проходить рівні відрізки прямолінійної траєкторії, то можна покласти

(7)

де - вектор, який співпадає за напрямком із ММ^’ (рис. 5) і дорівнює приросту радіус-вектора за одиницю часу. У цьому випадку вектор постійний за величиною і за напрямком. Цей вектор називається швидкістю рівномірного прямолінійного руху. З рівності (7) знайдемо

(8)

Співвідношення (8) називається векторним рівнянням рівномірного прямолінійного руху.

Тепер розглянемо довільний рух точки. Нехай точка ереходить за проміжок часу ∆t з положення М у положення М’ (Рис.6). Радіус-вектор одержує при цьому приріст . Замінимо нерівномірний криволінійний рух точки по дузі ММ' рівномірним прямолінійним рухом по хорді ММ'. Швидкість цього прямолінійного рівномірного руху, відповідно до рівності (7), визначається як

(9)

Вектор напрямлений по січній до траєкторії (рис.6). Цей вектор називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу . Ясно, що середня швидкість може приблизно характеризувати рух точки за проміжок часу (якщо досить мала величина). Зменшуючи до нуля, одержимо після граничного переходу в рівності (9) швидкість точки у даний момент часу

або

(10)

Зауважимо, що граничне положення січної до траєкторії є дотична до неї. Вектор збігається за напрямком з вектором , отже швидкість напрямлена по дотичній у даній точки траєкторії. Фізичний зміст швидкості у даний момент часу t очевидний: це та швидкість, що мала б точка, якби, починаючи від моменту часу t, вона рухалася б рівномірно й прямолінійно.

Поняття швидкості руху - лише окремий випадок більше загального поняття про швидкість протікання деякого фізичного процесу. Рівність (10) дозволяє укласти, що швидкість фізичного процесу описуваного деякою функцією яка залежить від часу дорівнює першій похідній від цієї функції за часом.

Рівність (10) дозволяє знайти швидкість точки при векторному способі завдання руху.

Розглянемо визначення швидкості при координатному способі завдання руху точки. З рівності (4) і (10) одержимо

(11)

або

,

де - проекції вектора на координатні осі. Знаючи ці проекції можна знайти модуль (величину) вектора швидкості і його напрямні косинуси. За формулами аналітичної геометрії одержимо

(12)

(13)

Визначимо швидкість при природному способі завдання руху. Диференціюючи радіус-вектор як складну функцію часу, з рівностей (10), (5) і (6) одержимо

(14)

Щоб з'ясувати зміст рівності (14) розглянемо

Тут приріст радіус-вектора точки, що рухається, при переході з положення М у положення М'. ∆S – відповідно цьому переходу зміна дугової координати (рис. 7). Покладемо, що . тоді вектор буде напрямлений по січної ММ’ до траєкторії точки, а вектор – по граничному положенню січної при , тобто по дотичній до траєкторії убік зростання дугової координати. Треба відзначити, що при переході точки з положення М у положення М’’, тобто при від’ємних збільшеннях дугової координати напрямок відношення залишається таким самим, значить вектор завжди спрямований убік зростання дугової координати (рис. 7). Модуль вектора дорівнює одиниці як межа відношення довжини хорди до довжини дуги, що стягається нею:

Отже, вектор одиничний вектор (орт) дотичної до траєкторії матеріальної точки, спрямований убік зростання дугової координати. Рівність (14) здобуває наступний вид

= V , (15)

де – проекція вектора швидкості на вісь спрямовану по дотичній до траєкторії з додатнім напрямком, що визначається ортом. Таким чином, ми визначили вектор швидкості за величиною й за напрямком при природному способі завдання руху.

Поиск по сайту: