Теорема.Якщо функції і неперервно диференційовні, то має місце формула
Якщо врахувати, що , то попередню формулу можна записати у вигляді
Отримана формула, що називається формулою інтегрування частинами, зводить відшукування первісної функції до відшукування первісної функції . Її застосування корисне тоді, коли друга задача більш проста. При обчисленні інтеграла за формулою інтегрування частинами підінтегральна функція подається у вигляді добутку , так, щоб множник при диференціюванні спрощувався, а первісна функції легко знаходилась.
Наведемо два розповсюджених види інтегралів, які обчислюються за формулою інтегрування частинами:
I. , ,
За тут приймається многочлен , а за – відповідно , , ;
II. , ,
За тут приймаються відповідно , , , а за – многочлен .
Приклад 2. Знайти інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Розв’язання.1) цей інтеграл відноситься до виду I:
.
2) цей інтеграл відноситься до виду I:
.
3) даний інтеграл відноситься до виду II. Маємо:
.
Задача звелась до знаходження інтеграла від неправильного дробу. Поділимо чисельник ( ) на знаменник ( ):
Отже, і тому
.
4)
.
Тут, як і в прикладі 2.3, зображення можна дістати в результаті ділення. У наведеному вище розв’язанні застосовано штучний прийом.
5)
.
Останній перехід засновано на першій властивості інтеграла.
Інтегрування підстановкою (заміна змінної)
Введення нової змінної інтегрування часто зводить розглядуваний інтеграл до табличного.
Нехай структура підінтегрального виразу в інтегралі є такою, що , тобто підінтегральний вираз містить складену функцію та диференціал Тоді робиться заміна змінної (підстановка)
.
Тут припускається, що функції неперервні і область значень функції збігається з областю визначення функції
Іноді використовують другу форму правила підстановки, коли явно виражається через нову змінну . Зробимо в інтегралі підстановку , де - неперервно диференційовна функція, така, що її область значень збігається з областю визначення функції . Тоді і правильною є формула
.
Підстановка підбирається таким чином, щоб первісну функції знайти було б нескладно. У результаті остаточно отримаємо
,
де є розв’язком рівняння .
Вкажемо корисні підстановки для таких інтегралів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Приклад 3. Знайти інтеграли:
1) ; 2) .
Розв’язання
У кожному з цих інтегралів зробимо підстановку . Тоді
1) ;
2) , .
Зокрема
, .
Приклад 4. Знайти інтеграли:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Розв’язання
Усі ці інтеграли можуть бути зведені до модельних інтегралів з прикладу 3: