Основні способи інтегрування

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Якщо операція диференціювання дозволяє знайти швидкість залежно від пройденого шляху, то за допомогою інтегрування, тобто оберненої операції відносно диференціювання, можна розв’язати задачу про знаходження пройденого шляху залежно від відомої швидкості руху.

Невизначений інтеграл

Означення 1. Диференційовна функція називається первісною для функції на деякому проміжку, якщо для всіх , що належать цьому проміжку, виконується співвідношення

.

Наприклад, функція є первісною для функції , на проміжку , а функція є первісною для функції на проміжку ( ).

Теорема 1. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона має первісну на цьому відрізку.

Надалі буде іти мова лише про первісні неперервних функцій.

Теорема 2. Нехай – одна з первісних функції на деякому проміжку. Тоді будь-яка інша первісна цієї функції на тому ж проміжку може бути подана у вигляді , де – деяке число.

Означення 2. Сукупність усіх первісних функції на деякому проміжку називається невизначеним інтегралом від цієї функції (на тому ж проміжку) і позначається символом .Отже,

де – деяка первісна функції , а – довільна стала.

Наприклад:

1. , . 2. . 3. .

4. в кожному проміжку, де .

Процес знаходження первісної називається інтегруванням функції .

З означення невизначеного інтеграла випливають такі його властивості:

1.1) ;

2) ;

2. ( ) ;

3. якщо , то ( , – числа).

Дійсно,

Задача інтегрування є значно важчою, ніж задача знаходження похідної. При цьому слід мати на увазі, що первісна деяких елементарних функцій не виражається через елементарні функції. Наприклад, первісні функцій

, , ,

не будуть елементарними функціями.

Таблиця похідних 5.1 дає можливість знайти найважливіші невизначені інтеграли (табл. 9.1).

Таблиця 9.1

1.	7.
2.	8.
3. , зокрема	9.
4.	10. ,
5.	11.
6.	12.

Наведені формули справедливі в тих проміжках, де визначена підінтегральна функція.

Приклад 1. Використовуючи властивості інтеграла та табл. 9.1, знайти інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .

Розв’язання.1) Скористаємося властивістю 2 інтеграла

;

2) скористаємося властивістю 2 інтеграла

;

3) скористаємося властивістю 3 інтеграла ;

4) скористаємося властивістю 3 інтеграла ;

5) скористаємося властивістю 3 інтеграла

;

6) вилучаючи повний квадрат у знаменнику, а потім використавши властивість 3 інтеграла, знаходимо

;

7) вилучаючи повний квадрат у підкореневому виразі, а потім скориставшись властивістю3 інтеграла, знаходимо

;

8) скористаємось формулою зниження степеня та, властивостями 2 та 3 інтеграла

;

9) якщо , то з формул тригонометрії та властивості 2 і 3 інтеграла отримаємо

.

Якщо , то

.

Аналогічним чином знаходяться інтеграли вигляду

, .

Викладки, подібні до тих, що були зроблені в прикладі 1 (п. 8, 9), можуть бути застосовані і до інтегралів вигляду

.

10) здійснимо перетворення

.

Тому .

Основні способи інтегрування

Розглянемо два найбільш важливих методи знаходження первісних.

Поиск по сайту: