Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Пример выполнения задания. 5.3.1. Условие примера



 

5.3.1. Условие примера

Рассматривается движение механической системы, изображенной на рис. 5.2. Даны следующие значения параметров: кг, кг, кг, Н, Нм,
м, м, м, м, , , , м, м, м/с2.

Определить скорость и ускорение тела А.

 

 

 

5.3.2. Решение примера

Равенство, выражающее теорему об изменении кинетической энергии механической системы, имеет вид

, (5.1)

где и - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях,

и - суммарные работы внутренних и внешних сил, приложенных к системе, при ее переходе из первого положения во второе.

На рис. 5.3 условно изображены начальное и конечное положения данной системы.

 

 

Согласно условию задачи система начинает движение из состояния покоя, поэтому .

Кроме того, поскольку тела, образующие систему, абсолютно твердые и трос не растягивается, то .

Таким образом, равенство (5.1) запишется

. (5.2)

Кинетическая энергия системы равна

Груз А движется поступательно со скоростью , поэтому

(5.3)

Шкив С вращается с угловой скоростью , следовательно,

(5.4)

Момент инерции шкива С относительно оси, проходящей через точку О1, определяется по формуле:

(5.5)

Угловая скорость шкива С равна

. (5.6)

Подставляя выражения (5.5) и (5.6) в равенство (5.4), получаем:

. (5.7)

Кинетическую энергию колеса В, совершающего плоское движение, находим по формуле:

. (5.8)

Здесь - линейная скорость центра О масс колеса В,

- мгновенная угловая скорость колеса В,

- момент инерции колеса В относительно оси, проходящей через центр О.

На рисунке 5.3 буквой обозначен мгновенный центр скоростей колеса В. Очевидно, что мгновенная угловая скорость колеса В

.

Но для нормальной работы системы скорости , а , тогда

. (5.9)

Скорость центра О колеса В равна

. (5.10)

 

Момент инерции колеса В равен

. (5.11)

После подстановки выражений (5.9) и (5.10) в формулу (5.8), получаем:

. (5.12)

Далее, суммируя выражения (5.3),(5.7) и (5.12), окончательно имеем

. (5.13)

Внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему, показаны на рисунке 5.3. Причем сила трения скольжения действующая на тело А имеет максимальное значение, которое находится по формуле Кулона:

. (5.14)

Здесь - нормальная реакция плоскости находится по формуле

. (5.15)

Суммарная работа внешних сил действующих на рассматриваемую механическую систему равна

(5.16)

Работа силы тяжести тела А:

. (5.17)

Работа максимальной силы трения скольжения тела А:

.

С учетом равенств (5.14) и (5.15), последнее выражение примет вид

. (5.18)

Работа нормальной реакции :

, (5.19)

так как .

 

Точки приложения сил и не перемещаются, поэтому

. (5.20)

Работа силы тяжести колеса В:

. (5.21)

Работа постоянной силы :

. (5.22)

Работа постоянного момента :

. (5.23)

Работа нормальной реакции наклонной плоскости:

, (5.24)

так как эта сила перпендикулярна вектору перемещения ее точки приложения.

Сила трения скольжения колеса В приложена в мгновенном центре скоростей колеса В, поэтому:

. (5.25)

Работа максимально момента трения качении :

. (5.26)

Величина максимального момента трения качения дается формулой

. (5.27)

Для определения зависимостей перемещения центра О и угла поворота колеса В от перемещения тела А умножим обе части выражений (5.9), (5.10) на . Имеем

, .

Или

, .

Интегрируя обе части последних двух уравнений, получаем

, . (5.28)

 

Подставляя выражения (5.17)-(5.26) в сумму (5.16), с учетом формул (5.27), (5.28), имеем

(5.29)

Тогда равенство (5.2) с учетом выражений (5.13) и (5.29) примет вид

(5.30)

.

Отсюда

Для определения ускорения тела А продифференцируем обе части равенства (5.30) по времени t. Имеем

 

Поскольку

и ,

то

(5.30)

Таким образом, для заданных числовых значений параметров, скорость и ускорение тела А равны:

 
 

 

 


6. Задание №5. Применение общего уравнения динамики
к изучению движения механической системы с одной степенью свободы

Содержание задания

 

Механическая система, изображенная на рис. 5.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости. Массы тел А, В и D ( , , ), заданная нагрузка ( и ) приведены в табл. 5.1. Радиусы колеса В и блока D соответственно равны м, м, м. Радиус инерции колеса В: м. Углы и имеют значения: , . Коэффициент трения качения колеса В равен ; коэффициент трения скольжения тела А равен .

Используя общее уравнение динамики и принцип Даламбера для механической системы, определить ускорение тела А и натяжения в ветвях троса. Блок D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления движению, трением в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу блока пренебречь.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.