Вынужденные колебания осциллятора. Свойства вынужденных колебаний. Случай резонанса

Чтобы осуществить незатухающие колебания необходимо компенсировать потери энергии.

Рассмотрим механические колебания, совершающиеся под действием внешней вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

где F₀ - амплитуда силы, - частота колебаний вынуждающей силы.

Тогда дифференциальное уравнение колебаний будет иметь вид:

или

. (5.7.1)

Здесь , .

Общее решение этого уравнения равно сумме двух решений

х=х₁+х₂ , (5.7.2)

где х₁ - общее решение соответствующего однородного уравнения, характеризующее собственные затухающие колебания:

,

где .

х₂ - частное решение неоднородного уравнения (5.7.1), характеризующее вынужденные колебания :

.

При наличии периодической вынуждающей силы материальная точка совершает одновременно и собственные, и вынужденные колебания. Собственные колебания постепенно прекращаются из-за затухания. Остаются вынужденные колебания. График результирующих колебаний показан на рис.5.12

Свойства вынужденных колебаний :

1). Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и вынуждающей силой, не зависят от времени.

2). Частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы и от свойств колеблющейся системы не зависит.

3) Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний определяются соотношениями:

(5.7.4)

(5.7.5)

Рассмотрим зависимость А от , полагая, что затухание мало, т.е.

При некотором значении (эта частота называется резонансной) выражение (5.7.4) достигает максимума. Продифференцируем выражение (5.7.4) по и, приравняв полученную производную нулю, найдем

Отсюда . (5.7.6)

Подставив (5.7.6) в (5.7.4) имеем резонансное (максимальное) значение амплитуды А.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называется резонансом.

Зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания приведены на рис.5.13.

При уменьшении коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной частоте свободных колебаний, а резонансная амплитуда стремится к бесконечности.

Явление резонанса необходимо учитывать при конструировании различных машин и сооружений. Если частота собственных колебаний совпадет с частотой возможных внешних воздействий, это может привести к разрушению механизма или сооружения вследствие увеличения амплитуды колебаний, т.е. резонанса. С другой стороны явление резонанса позволяет обнаруживать и усиливать даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора ( например, в радио- или телеприемнике).

Поиск по сайту: