Механические колебания: груз на пружине, математический и физический маятники

1). Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой невесомой пружине (рис. 5.3).

В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой упругости :

или , (5.2.1)

где - статическое удлинение пружины при подвешивании груза, k – коэффициент жесткости пружины.

Если дополнительно сместить груз от положения равновесия на расстояние x, то результирующая сил и силы тяжести уже не будет равна нулю.

В проекции на ось Х: второй закон Ньютона иметь вид

,

но по закону Гука: , где х – смещение груза от положения равновесия. Учитывая, что согласно (5.2.1) , а ускорение

получим . (5.2.2)

Разделим это уравнение на m и введем обозначение . Перенесем все слагаемые в левую часть и получим дифференциальное уравнение движения пружинного маятника:

. (5.2.3)

Его решением является функция: .

Следовательно, груз, подвешенный на пружине будет совершать гармонические колебания с циклической частотой .

Известно, что , Тогда имеем : - период колебания пружинного маятника.

2). Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.(рис.5.4)

Если маятник отклонить от положения равновесия на угол , то сила тяжести создаст вращающий момент . Тогда в соответствии с уравнением динамики вращательного движения можно записать:

, где угловое ускорение . Тогда:

(5.2.4)

При малых углах , следовательно, уравнение (5.2.4) примет вид:

, (5.2.5)

где J –момент инерции маятника относительно оси колебаний, а – расстояние от оси колебаний до центра масс маятника (см. рис.5.4).

Введя обозначение , получим уравнение

, (5.2.6)

аналогичное уравнению (5.2.3), решение которого известно:

Следовательно, при малых углах отклонения физический маятник совершает гармонические колебания с периодом

. (5.2.7)

или , где - приведенная длина физического маятника

3) Математический маятник – материальная точка массой m, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити длиной .(рис.5.5)

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Момент инерции математического маятника , где - длина маятника (длина нити), расстояние от оси колебаний до центра масс также равно длине нити .

Тогда, дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

(5.2.8)

и его решение: .

Здесь , где g- ускорение свободного падения, - длина маятника .

Период его колебаний равен :

Поиск по сайту: