Обчислення потрійного інтеграла

Означення. Якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі , перетинає границю області у двох точках, а проекція на площину є правильною областю , то область називається правильною у напрямі осі . Аналогічно вводиться означення правильної області у напрямах осей і .

Нехай область обмежена знизу і зверху поверхнями і відповідно, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні . Позначимо проекцію області на площину через .

Припустимо, що кожна пряма, яка паралельна осі і проходить через внутрішню точку області , перетинає область у точках і . Точку назвемо точкою входу в область , а - точкою виходу із області , їхні аплікати позначимо відповідно і . Тоді , і для будь-якої неперервної в області функції має місце формула:

. (1.5)

Тобто, щоб обчислити потрійний інтеграл, спочатку треба обчислити інтеграл по змінній , вважаючи, що змінні і сталі. Інтеграл називають внутрішнім інтегралом, бо

. (1.6)

Права частина формули (1.6) є подвійним інтегралом по області із підінтегральною функцією . Таким чином, формула (1.6) дає змогу звести потрійний інтеграл до подвійного.

Якщо область , наприклад, обмежена , , а , при чому і неперервні в області , а область задана відповідно так: , то переходячи від подвійного інтеграла у формулі (1.6) до повторного, одержимо формулу:

. (1.7)

Формула (1.7) зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування у формулі (1.7) може бути й іншим, тобто змінні , і за певних умов можна міняти місцями.

Перехід до циліндричних координат у потрійному інтегралі

Циліндричні і декартові координати пов’язані відношенням:

.

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах має вигляд:

,

- задана на в декартовій ординат, - у полярній.

Перехід до сферичних координат у просторі

Сферичні координати , і декартові координати пов’язані відношенням:

.

А перехід від сферичних координат до декартових відбувається за формулою:

,

де область - задана на в декартовій системі координат,а - у полярній.

1. Застосування подвійних та потрійних інтегралів до задач

Механіки і фізики

Обчислення маси плоскої пластинки: Якщо пластинка лежить у площині і має форму замкненої області , в кожній точці якої задана поверхнева густина , то маса пластинки обчислюється за формулою:

.

Якщо матеріальне тіло має об’ємну густину , то маса тіла обчислюється за формулою: .

Обчислення статичних моментів: статичні моменти плоскої матеріальної пластинки визначаються за формулами:

.

Якщо тіло знаходиться у просторі , то статичні моменти тіла відносно координатних площин знаходяться за формулами:

.

Координати центра маси: координати центра маси матеріальної пластини обчислюються за формулами:

.

У випадку трьохвимірного простору:

ІДЗ №1

1. Представити подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла із зовнішнім інтегруванням по і зовнішнім інтегруванням по , якщо область D задана вказаними лініями:

Область D зображена на рисунку 1.1, обмежена лініями , .

Рис. 1.1

Виразимо змінну через :

Знайдемо точки перетину ліній і :

- не задовольняє умову.

Отже, маємо:

.

2. Обчислити подвійний інтеграл по області D, обмежений вказаними лініями:

Область D зображена на рисунку 1.2.

Рис. 1.2

Оскільки область D симетрична відносно вісі , то:

.

3. Обчислити подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати:

.

Область D зображена на рисунку 1.3.

Рис. 1.3

Перейдемо до полярної системи координат:

, , .

Маємо:

.

4. Обчислити площу плоскої області D, обмеженої заданими лініями:

.

Подана плоска фігура обмежена зверху параболою , а знизу прямою (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Знайдемо точки перетину параболи із лінією:

Якщо , то .

Якщо , то .

Маємо точки перетину заданих ліній: (2;-6), (-2;-6).

Оскільки область D симетрична відносно осі Оу, то маємо:

.

5. За допомогою подвійних інтегралів обчислити в полярних координатах площу плоскої фігури, обмеженої вказаними лініями:

.

Перейдемо до полярної системи координат:

Рис. 1.5

Рівняння лінії у полярних координатах має вигляд: . Оскільки лінія симетрична відносно осі Ox й Оу, то площа плоскої фігури дорівнює:

.

6. Обчислити об’єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:

.

Рис. 1.6

Дане тіло обмежено зверху площиною (рис. 1.6), тому його об’єм визначаємо наступним чином:

.

ІДЗ №2

1. Розставити межі інтегрування у потрійному інтегралі , якщо область V обмежена вказаними поверхнями. Накреслити область інтегруваня:

.

Область інтегрування зображена на рисунках 2.1, 2.1а.

Рис. 2.1рис. 2.1а

.

2. Обчислити потрійний інтеграл:

.

Область зображена на рис. 2.2. Рис. 2.2

.

3. Обчислити потрійний інтеграл за допомогою циліндричних або сферичних координат: .

На рисунку 2.3 зображена область V та її проекція D на площину .

Рис. 2.3

Виконаємо деякі перетворення рівнянь :

Перейдемо до циліндричних координат :

;

;

.

4. За допомогою потрійного інтеграла обчислити об’єм тіла, обмеженого вказаними лініями: .

Рис. 2.4

Рівняння визначає зрізаний циліндр, інші поверхні є площинами (рис. 2.4). Отже, маємо:

.

ІДЗ № 3

1. Обчислити масу неоднорідної пластинки D, обмеженої заданими лініями, якщо поверхнева густина в кожній точці :

.

Для обчислення маси плоскої пластини ,поданою поверхневою густиною скористаємось фізичним змістом подвійного інтеграла і формулою , де область інтегрування зображена на рисунку 3.1.

Отже, маса пластинки:

.

Рис. 3.1

2. Обчислити статичний момент однорідної пластини D, обмеженої вказаними лініями, відносно вказаної осі, використавши полярні координати:

.

Рис. 3.2

Перейдемо до полярних координат:

Статичний момент відносно осі даної пластини визначається за формулою . У полярній системі координат область D (рис. 3.2) перетворюється на область . Отже, маємо:

.

3. Обчислити координати центра мас однорідного тіла, що займає область V, обмежену заданими поверхнями:

.

Дане тіло (рис. 3.3 )симетричне відносно осі , тому , .

Рис. 3.3

Перейдемо до циліндричних координат за формулами:

Тоді одержуємо:

Отже, ,

а центр маси має координати

Список літератури

1. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г., Кривошеєва Г. М. та ін.. Вища математика у

прикладах і задачах. Частина 2. – Харків: Фактор-Друк, 2002.

2. Ємець О. О., Недобачій С. І.. Методичні вказівки до виконання курсової роботи

з дисципліни «Математичний аналіз» (2-ий курс, 3-ій семестр) для студентів

спеціальностей «Прикладна математика», «Інформатика». – Полтава: ПолтНТУ,

2003.

3. Шкіль М. І.. Математичний аналіз: Підручник: у 2 ч. – 3-тє вид., переробл. і

допов. – К.: Вища шк.., 2005.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Том 3

5. Сборник индивидуальных задач по высшей математики: Учеб. Пособие. В 3 ч.

Ч.3/Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державцев В. В., Юруть И. Е.. – М.:Выс. Шк.,

1991.

Поиск по сайту: