9. Перехід до циліндричних координат потрійному інтегралі
10. Перехід до сферичних координат у просторі
11. Застосування подвійних та потрійних інтегралів до задач механіки і фізики
Означення подвійного інтеграла
кратнНехай функція визначена в обмеженій замкнутій області площини . Розіб’ємо область довільним чином на елементарних областей, площі котрих, як і самі області, позначатимемо . У кожній елементарній області виберемо довільну точку .
Інтегральною сумою для функції по області називається сума вигляду: . (1)
Діаметром замкнутої обмеженої області називається найбільша відстань між двома точками межі цієї області.
Подвійним інтегралом від функції по області називається границя інтегральної суми (1) за умови, що найбільший із діаметрів , прямує до нуля: .
Подвійний інтеграл позначають так:
.
Основні властивості подвійних інтегралів
1. .
2. , де с – const.
3. Якщо область складається із двох областей і , які не мають спільних точок, то
.
4. Якщо дві функції в області задовольняють нерівність , то
.
5. Якщо функція в області , то .
.
Обчислення подвійного інтеграла
Область називається правильною в напрямі осі (осі ), якщо будь-яка пряма, яка проходить через внутрішню точку області , паралельно осі (осі ), перетинає межу області у двох точках і .
Якщо область правильна в напрямі осі і проектується на вісь у відрізок , то її межа розбивається на 2 лінії: , яка задається рівнянням , і , рівняння якої . Тоді область задається системою нерівностей: .
При такому заданні області подвійний інтеграл по цій області обчислюється за формулою:
(1.2).
Інтеграл називається повторним або двократним. Інтеграл називається внутрішнім інтегралом. У ньому інтегрування ведеться по змінній , а - const. Отже
.
Якщо область є правильною в напрямі осі , то її можна задати нерівностями: .
Тоді подвійний інтеграл по області обчислюється за формулою:
(1.3).
Інтеграл називається повторним або двократним.
Інтеграл називається внутрішнім інтегралом. В ньому інтегрування ведеться по змінній , а const. Отже, маємо:
.
Якщо область правильна у напрямі осі та осі , то справедливі формули (1.2) і (1.3).
Якщо порівняти формули (1.2) і (1.3), то маємо:
(1.4).
Перехід від лівої частини формули (1.4), до правої і навпаки називається зміною порядку інтегрування.