Використовуючи лише таблицю інтегралів та їх основні властивості, вже можна обчислювати деякі нескладні інтеграли. Розглянемо приклади.
1).
.
2)
Варто запам’ятати окрему формулу:
.
3).
Тут використано тригонометричні формули:
4).
5).
6).
.
7).
.
Інтегрування методом заміни змінної. Підведення під знак
Диференціала.
Далеко не всі інтеграли обчислюються так елементарно, як у п.3. Тоді ми змушені використовувати спеціальні методи. Одним з них є метод заміни змінної або метод підстановки. Він ґрунтується на наступній теоремі.
Теорема.Нехай первісна функції на інтервалі , тобто:
, і нехай функція визначена і диференційована на інтервалі , причому множина значень цієї функції є інтервал . Тоді справедлива формула:
.
Доведення.Згідно з формулою диференціювання складеної функції маємо:
, а це означає, що функція є первісною для функції на інтервалі , тобто справедливе твердження теореми.
На практиці метод заміни змінної використовують так. намагаються знайти таку функцію , щоб інтеграл
був менш складним, ніж початковий інтеграл
.
Часто таку заміну змінної зручно обирати у вигляді , тобто у вигляді залежності від .
На підставі цього метода, зокрема, можна отримати такий результат. Нехай є первісною для функції на інтервалі , тобто
Розглянемо:
(4.1)
Розглянемо приклади.
1).
Цей інтеграл можна було б обчислити безпосередньо, використовуючи формулу бінома Ньютона. Але це досить складно. Помітимо, що цей інтеграл схожий на табличний
.
На підставі формули (7.4.1) маємо:
.
Тут .
2). .
Зробимо заміну
Маємо:
.
При обчисленні інтеграла від скористалися формулою (4.1).
Особливо ефективно метод заміни змінної використовується тоді, коли під знаком інтеграла вдається виділити диференціал деякої функції , а решту підінтегрального виразу подати у вигляді складеної функції від цієї функції , а саме:
.
Тоді, здійснюючи заміну , отримуємо інтеграл:
.
Якщо первісна від функції нам відома, то
.
Розглянемо приклади:
1). .
Отже виділили диференціал функції . Зробивши заміну , отримаємо:
.
2). Іноді для виділення диференціалу необхідно підінтегральний вираз помножити (відповідно поділити) на деяку сталу величину.
.
3). Важливим є наступний тип інтегралів:
, тобто у чисельнику підінтегрального дробу міститься диференціал його знаменника. Роблячи заміну , отримуємо інтеграл:
. (4.2)
Тобто інтеграл дорівнює натуральному логарифму модуля знаменника.
Приклади.
1). .
2). .
3). Розглянемо більш складний інтеграл:
.
Цей інтеграл можна було б також обчислити за допомогою підстановки .