Физическим маятником является твердое тело, колеблющееся вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести (Рис.30 а). Если расстояние от оси до центра масс обозначить через , то на маятник, отклоненный от положения равновесия на угол , действует момент силы тяжести, равный
,
так как плечо силы в данном случае равно . Основное уравнение динамики вращательного движения имеет поэтому вид
или, поскольку угловое ускорение есть вторая производная от угла по времени,
,
(знак «минус» показывает, что под действием силы тяжести отклонение маятника от положения равновесия уменьшается). Для малых углов , и это уравнение можно переписать в виде
,
т.е. как уравнение гармонического осциллятора
с частотой . Период колебаний физического маятника обратно пропорционален частоте и равен
.
Частным случаем физического маятника является математический маятник – прикрепленный одним концом к оси вращения невесомый стержень длины , на другом конце которого закреплена точечная масса (Рис 30 б). Момент инерции математического маятника очевидно равен , а расстояние от оси до центра масс совпадает с длиной маятника. Подставляя это в предыдущие формулы, получаем частоту и период колебаний математического маятника:
, .
От массы математического маятника частота и период его колебаний не зависят.
Затухающие колебания
Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых уменьшается со временем. Примером таких колебаний являются колебания пружинного маятника (Рис.28), движущегося в вязкой среде, например в жидкости. При движении в такой среде силу трения, действующую на груз, можно считать равной , т.е. пропорциональной скорости груза. (Знак «минус» показывает, что сила вязкого трения направлена противоположно скорости). Эта сила добавляется к силе упругости пружины , и уравнение движения поэтому записывается в виде
.
Его можно переписать как
,
где называется коэффициентом затухания, а - собственная частота колебаний маятника.
Решением этого уравнения является функция
,
где , т.е. частота осцилляций груза. Она несколько меньше, чем частота при отсутствии силы вязкого трения. Разумеется, эта функция является решением уравнения затухающих колебаний только если .
График этой функции приведен на Рис.31 а. Из него наглядно видно, что колебания не являются периодическими, и понятие периода таких колебаний некорректно. Однако если собственная частота колебаний существенно превышает коэффициент затухания , то можно приближенно считать колебания гармоническими с амплитудой, уменьшающейся со временем по закону (Рис.31 а). «Периодом» таких колебаний является величина
.
Коэффициент затухания имеет ясный физический смысл. Обратная величина коэффициента затухания равна времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 2,72 раза. Иногда для оценки темпа затухания колебаний используют понятие логарифмического декремента затухания . Он равен произведению коэффициента затухания на период, . Его обратная величина равна числу колебаний, за которое амплитуда уменьшится в раз.
Если затухание велико и больше, чем , то выведенный из положения равновесия груз возвращается в начальное положение, не совершая осцилляций. Такое движение называется апериодическим. На Рис.31 б) приведен один из возможных графиков зависимости смещения груза от времени при апериодическом движении.