Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Физический и математический маятник



Физическим маятником является твердое тело, колеблющееся вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести (Рис.30 а). Если расстояние от оси до центра масс обозначить через , то на маятник, отклоненный от положения равновесия на угол , действует момент силы тяжести, равный

,

так как плечо силы в данном случае равно . Основное уравнение динамики вращательного движения имеет поэтому вид

или, поскольку угловое ускорение есть вторая производная от угла по времени,

,

(знак «минус» показывает, что под действием силы тяжести отклонение маятника от положения равновесия уменьшается). Для малых углов , и это уравнение можно переписать в виде

,

т.е. как уравнение гармонического осциллятора

с частотой . Период колебаний физического маятника обратно пропорционален частоте и равен

.

Частным случаем физического маятника является математический маятник – прикрепленный одним концом к оси вращения невесомый стержень длины , на другом конце которого закреплена точечная масса (Рис 30 б). Момент инерции математического маятника очевидно равен , а расстояние от оси до центра масс совпадает с длиной маятника. Подставляя это в предыдущие формулы, получаем частоту и период колебаний математического маятника:

, .

От массы математического маятника частота и период его колебаний не зависят.

 

Затухающие колебания

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых уменьшается со временем. Примером таких колебаний являются колебания пружинного маятника (Рис.28), движущегося в вязкой среде, например в жидкости. При движении в такой среде силу трения, действующую на груз, можно считать равной , т.е. пропорциональной скорости груза. (Знак «минус» показывает, что сила вязкого трения направлена противоположно скорости). Эта сила добавляется к силе упругости пружины , и уравнение движения поэтому записывается в виде

.

Его можно переписать как

,

где называется коэффициентом затухания, а - собственная частота колебаний маятника.

Решением этого уравнения является функция

,

где , т.е. частота осцилляций груза. Она несколько меньше, чем частота при отсутствии силы вязкого трения. Разумеется, эта функция является решением уравнения затухающих колебаний только если .

График этой функции приведен на Рис.31 а. Из него наглядно видно, что колебания не являются периодическими, и понятие периода таких колебаний некорректно. Однако если собственная частота колебаний существенно превышает коэффициент затухания , то можно приближенно считать колебания гармоническими с амплитудой, уменьшающейся со временем по закону (Рис.31 а). «Периодом» таких колебаний является величина

.

Коэффициент затухания имеет ясный физический смысл. Обратная величина коэффициента затухания равна времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 2,72 раза. Иногда для оценки темпа затухания колебаний используют понятие логарифмического декремента затухания . Он равен произведению коэффициента затухания на период, . Его обратная величина равна числу колебаний, за которое амплитуда уменьшится в раз.

Если затухание велико и больше, чем , то выведенный из положения равновесия груз возвращается в начальное положение, не совершая осцилляций. Такое движение называется апериодическим. На Рис.31 б) приведен один из возможных графиков зависимости смещения груза от времени при апериодическом движении.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.