Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Гармонические свободные колебания



Механические колебания

Колебаниями называется процесс с определенной степенью повторяемости во времени. К колебаниям можно отнести движение маятника, биение сердца, изменение электрического напряжения в цепи переменного тока и т.п. Если колебания описываются периодической функцией времени, то они называются периодическими. Из периодических колебаний самыми простыми и важными считаются гармонические колебания. Примером их являются колебания идеальных маятников.

Гармонические свободные колебания

Основные характеристики гармонических колебаний рассмотрим на примере пружинного маятника (Рис.28), который состоит из пружины жесткостью и прикрепленного к ней груза массы . Найдем зависимость координаты груза от времени при его движении . За начало оси координат удобно выбрать положение равновесия. При смещении груза из положения равновесия на него действует сила упругости, равная (знак минус показывает, что сила упругости направлена противоположно смещению груза относительно положения равновесия). Второй закон Ньютона для груза имеет поэтому для пружинного маятника вид

, или

, ,

так как ускорение есть вторая производная от координаты по времени.

Получившееся уравнение является дифференциальным, так как в него входит производная от неизвестной функции . В математике доказывается, что решением уравнения

,

которое называется уравнением гармонического осциллятора с собственной частотой , и к которому сводится последнее уравнение (для пружинного маятника ), является функция, график которой приведен на Рис.29а.

 

Эта функция

называется гармонической, а колебания, описываемые ею – гармоническими колебаниями. Величина называется амплитудой, - частотой, - начальной фазой, - фазой колебания. Периодом колебания является величина , обратно пропорциональная частоте:

.

Подставив функцию в уравнение гармонического осциллятора, можно убедиться, что это уравнение удовлетворяется при произвольных значениях амплитуды и начальной фазы , т.е. эти величины не определяются данным уравнением. Однако реальный пружинный маятник колеблется по вполне конкретному закону. Дело в том, что амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями задачи, например начальной координатой груза и его начальной скоростью. Так, если начальная координата равна , а начальная скорость равна , имеем

,

.

Из получившихся уравнений

и

определяются амплитуда и начальная фаза:

,

.

Подсчитаем энергию груза и пружины при колебаниях пружинного маятника. Потенциальная энергия пружины равна

Кинетическая энергия груза есть

.

Учитывая, что частота колебаний равна , кинетическая энергия равна

.

Графики зависимостей потенциальной и кинетической энергии от времени приведены на Рис.29 б и в. При возрастании потенциальной энергии кинетическая энергия уменьшается, и наоборот. Нетрудно видеть, что суммарная энергия остается постоянной:

.

В данном случае мы видим проявление закона сохранения механической энергии, так как сила упругости является потенциальной (см. параграф 3.6).

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.