Полная энергия в колебательной системе пропорциональна:
квадрату амплитуды смешения или скорости в механической системе
квадрату амплитуды заряда или силы тока в электрической системе
При малом затухании , имеем
,
где Е0 – значение полной энергии колебательной системы в начальный момент времени.
Убыль энергии за один период колебания
Следовательно
,
т.е. при слабом затухании добротность Q с точностью до множителя , равна отношению полной энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент времени, к убыли энергии за один период колебаний.
При увеличении коэффициента затухания δ частота колебаний стремится к нулю, а период колебаний Т растет и при период , т.е. движение перестает быть периодическим.
При движение носит апериодический характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний
При коэффициенте сопротивления r = 0, циклическая частота колебания равна собственной частоте ω0, при этом коэффициент затухания и колебания становятся незатухающими (идеальная механическая система)
При омическом сопротивлении контура R = 0, циклическая частота равна собственной частоте, при этом коэффициент затухания и колебания в контуре становятся незатухающими (идеальный колебательный контур)
Примеры решения задач
Пример 1. Начальная фаза затухающих колебаний равна нулю. Период колебания N = 2 c, логарифмический декремент затухания χ = 0,5. Записать уравнение движения материальной точки при таких колебаниях, если через время t = 3Т смещение точки составляет 4 см.
Решение:
Закон зависимости координаты точки х от времени t в общем виде при φ = 0
1. Т.к. логарифмический декремент затухания χ равен произведению коэффициента затухания δ на период Т
, то
(с-1).
2. Циклическая частота
;
3. Начальная амплитуда А0 из уравнения в общем виде
(м)
Подставляя значения А0, δ, ω в закон колебания, получаем
(м)
Ответ: (м)
Пример 2. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.
Решение:
Амплитуда последующих смещений маятника изменяется по экспоненте
, отсюда (1)
аналогично
(2)
Из (1) найдем коэффициент затухания
; (с-1)
Следовательно,
Ответ: за 4 мин амплитуда колебания маятника уменьшилась в 81 раз.
Пример 3. Определить добротность колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L = 2 мГн, конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ и резистора сопротивлением R = 1 Ом.
Добротность контура
,
где χ – логарифмический декремент затухания.
,
где δ – коэффициент затухания;
Т – период затухающих колебаний.
Для колебательного контура
;
при малых затуханиях
.
Поэтому
Ответ: добротность контура равна Q = 100.
Список использованных источников
1. Трофимова, Т.И. Курс общей физики. – М.: Высш. шк., 2005 . – 541 с.
2. Трофимова, Т.И. Физика в таблицах и формулах. – М.: Дрофа, 2002. – 431 с.
3. Фриш, С.Э. , Тиморева, А.В. Курс общей физики. т.2 изд 9-е. – М.: Гос. изд-во ф-м. лит-ры, 1692 г. – 514 с.
4. Трофимова, Т.И. Сборник задач по физике. – М.: Высш. шк., 2001. – 590 с.
5. Чертов, А.Г., Воробьев, А.А. Задачник по физике. – М.: Высш. шк., 1988. – 527 с.
Матанцева Вера Анатольевна
Ушакова Тамара Иосифовна
Притыченко Лидия Митрофановна
ФИЗИКА
Колебания и волны
Методические указания для самостоятельной работы студентов БГИТА
очной и заочной форм обучения
Лицензия НД № 14185 от 6.03.2001 г
Формат 60×94 1/16. Тираж 50 экз. Печ. л. - 4,8
Брянская государственная инженерно-технологическая академия.
241037. г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно-издательский