Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в трех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.
Сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты методом векторных диаграмм
Произведем сложение гармонических колебаний, совершаемых по закону
,
методом векторных диаграмм.
На диаграмме оба колебания представим с помощью векторов и , поставленных относительно горизонтальной оси ох под углами соответственно φ01 и φ02, равными начальным фазам. Найдем векторную сумму по правилу сложения векторов (параллелограмм). Проекция вектора на ось ох равна сумме проекций: . Вектор является вектором амплитуды результирующего колебания. Этот вектор вращается с той же частотой ω0, что и составляющие колебания. Поэтому результирующее колебание тоже гармоническое, амплитудой А и начальной фазой φ0.
Согласно теореме косинусов
,
а) Если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на четное кратное π
то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд .
б) Если складываемые колебания находятся в противофазе
, то
Рассмотрим сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний отличающихся по частоте на очень малую величину.
Пусть для простоты расчета амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы их равны нулю:
Складывая эти выражения и, применив формулу тригонометрии, получаем:
.
Второй сомножитель в правой части данного выражения описывает гармоническое колебание со средней частотой . Если , то первый сомножитель в скобках меняется медленно по сравнению с cosωсрt. Поэтому результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ωср, эффективная амплитуда Аэф которого изменяется со временем (рисунок 3.3): .
Периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Частота биений, или частота пульсаций амплитуды, равна разности частот Δω складываемых колебаний. Период биений определяется формулой