Колебания и волны: Задачи для аудиторной и самостоятельной работы / Самарский гос. аэрокосм. ун-т. Сост. Г.Ю. Баландина, Е.А.Китаева, В.Г. Макарян, И.Л. Стукалина; Самара, 2011. 20 с.
Пособие содержит вопросы для самоконтроля, принятые обозначения и основные формулы. Методические указания составлены в соответствии с программой по физике для студентов дневного отделения радиотехнического факультета. Подготовлено на кафедре физики.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королёва.
Рецензент: д.т.н., профессор В.И.Богданович.
Механические колебания
Вопросы:
1 Гармонические колебания.
2 Характеристики колебаний.
3 Законы изменения координат, скоростей, ускорений и энергии при гармоническом колебательном движении.
4 Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты.
5 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
6 Затухающие колебания.
7 Характеристики затухающих колебаний.
Принятые обозначения:
· − смещение от положения равновесия.
· − амплитуда колебаний.
· − угловая частота.
· − фаза колебаний.
· − частота колебаний.
· − скорость колеблющейся точки.
· − ускорение колеблющейся точки.
· − период колебания.
· − коэффициент затухания.
· − логарифмический декремент затухания.
· − добротность системы.
Основные формулы:
· Уравнение гармонических колебаний:
.
· Скорость при гармоническом колебании:
.
· Ускорение при гармоническом колебании:
.
· Угловая частота колебаний:
и .
· Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одного направления с одинаковыми частотами:
,
где и − амплитуды складываемых колебаний, и − начальные фазы.
· Начальная фаза результирующего колебания:
.
· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:
.
· Полная энергия материальной точки при гармонических колебаниях:
.
· Период колебаний пружинного маятника:
,
где − жесткость пружины.
· Период колебаний математического маятника:
,
где − длина маятника.
· Период колебаний физического маятника:
,
где − момент инерции тела, − расстояние от оси колебания до центра масс маятника.
· Частота малых колебаний материальной точки массы около положения равновесия в потенциальном поле : ,
где − коэффициент квазиупругой силы.
· Уравнение затухающих колебаний:
.
· Угловая частота затухающих колебаний:
.
· Логарифмический декремент затухания:
.
· Добротность контура:
.
Задачи
1Начальная фаза синусоидального гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?
2Уравнение колебаний материальной точки массой 10 г имеет вид см. найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.
3Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?
4В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз складываемых колебаний.
5Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 минуту амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.
6Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?
7Частица совершает гармонические косинусоидальные колебания вдоль оси около положения равновесия . Частота колебаний =4 рад/с. В некоторый момент координата частицы =25 см, а ее скорость =100 см/с. Найти координату и скорость частицы через 2,4 с после этого момента.
8Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар ( м) и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: уравнение движения тела, упавшего в шахту; время, которое понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты; скорость тела в центре Земли.
9Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебаний меньше 1 с.
10Найти период малых вертикальных колебаний тела массы , подвешенного на двух последовательно соединенных пружинах, жесткости которых равны и , а их массы пренебрежимо малы.
11Тело массы =1 кг и тело массы =4,1 кг соединены между собой пружиной, как показано на рисунке 1. Тело совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой 1,6 см и частотой =25 рад/с. Пренебрегая массой пружины, найти наибольшее и наименьшее значение силы давления этой системы на опорную плоскость.
12 Частица массы находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты как , и − некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
13Частица массы находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты как , и − некоторые положительные постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
14 Частица массы находится в одномерном потенциальном поле, где потенциальная энергия зависит от координаты как , и − некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
15 Шарик с массой и зарядом находится внутри непроводящей трубки между двумя неподвижными заряженными шариками (рисунок 2). Найти период малых колебаний шарика около положения равновесия, если заряды неподвижных шариков равны , а расстояние между их центрами .
16 Вычислить период малых колебаний ареометра (рисунок 3), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра , радиус его трубки , плотность жидкости . Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.
17Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рисунке 4. Известны радиус блока , его момент инерции относительно оси вращения , масса тела и жесткость пружины . Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет.
18Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы , укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины . Натяжение струны считать постоянным и равным .
19Однородный диск радиуса может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания .
20Шарик массы , подвешенный на пружине, удлиняет ее на величину . Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой , шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен . Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?
21Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой . Найти коэффициент затухания , если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в раза меньше амплитуды в этот момент.
22Найти добротность математического маятника длины , если за промежуток времени его полная механическая энергия уменьшилась в раз.
23Найти добротность осциллятора, у которого амплитуда смещения уменьшается в раза через каждые колебаний.
24Частицу сместили из положения равновесия на расстояние и предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания ?