Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Уравнение и график бегущей волы



 

Бегущей волной называется волна, переносящая энергию в пространстве в некотором направлении. Уравнением бегущей волны является зависимость смещения х колеблющейся частицы среды в некоторый момент времени от ее координаты .

Пусть в некоторой точке О упругой среды находится колебательная система, совершающая гармонические колебания по закону х = Acosωt (рисунок 5.5). Некоторая частица среды в точке С, удаленной от источника колебаний О на расстояние 1 на луче волны будет запаздывать по времени на величину

 

τ = ℓ1/υ,

 

где υ - скорость распространения фазы волны - фазовая скорость, м/с.

 

Тогда уравнение гармонического колебания частицы С запишется в виде:

 

(5.4)

 

Учитывая, что ω = 2πν, частота колебаний ν = 1/Т, a υT = λ - длина волны, выражение (5.4) можно записать в виде:

 

(5.5)

 

где - волновое число, м-1;

А - амплитуда волны, м;

ω – циклическая частота, с-1;

(ωt ­ kℓ1)- фаза волны в некоторый момент времени t;

Т - период колебаний, с.

Выражение (5.5) является уравнением плоской гармонической волны. Уравнение плоской волны можно записать также в комплексной форме, основываясь на формуле Эйлера

 

, (5.6)

 

где - мнимая единица:

 

(5.7)

 

Уравнение сферической волны имеет вид:

 

(5.8)

 

где r - расстояние от центра волны (точечного источника), до рассматриваемой точки среды, м;

A0 - амплитуда источника, м.

В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний убывает с расстоянием по закону .

 

Волновое уравнение

 

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением. Волновым является дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных вида:

 

(5.9)

 

где S - физическая величина, характеризующая возмущение, распространяющееся в пространстве;

- оператор Лапласа;

υ - скорость распространения фазы волны, м/с.

 

 

Энергия волны

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает кинетической энергией колеблющихся частиц Wk и потенциальной энергией деформации среды Wn.

Так как энергия источника гармонических колебаний меняется по гармоническому закону (таблица 2.4), то и кинетическая энергия всех частиц среды Wn меняется по гармоническому закону:

 

(5.10)

 

где р - плотность упругой среды, кг/м3;

А - амплитуда волны, м;

ω - циклическая частота, с-1 ;

V - часть объема упругой среды, в которой распространяется волна, м3.

Из-за разности смещений в один и тот же момент времени t частиц среды, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, потенциальная энергия деформации среды в объеме V тоже меняется по гармоническому закону, причем, в одинаковой фазе с кинетической энергией частиц в этом объеме:

 

(5.11)

 

где Е - модуль Юнга, Н/м2;

υ - скорость распространения волны, м/с.

Учитывая, что по (5. 1)

 

,

 

можно записать:

 

(5.12)

 

Полная энергия части объема V упругой среды:

 

(5.13)

 

Так как каждый элемент объема среды связан с окружающей средой, и энергия из одного участка может переходить в другой, то полная энергия отдельного участка среды не остается постоянной. Для среды протяженных размеров имеет смысл величина объемной плотности энергии w, то есть величина энергии единицы объема среды:

 

(5.14)

 

Среднее значение величины w за период Т равно:

 

(5.15)

 

а максимальное:

 

(при ) (5.16)

 

Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве волновой поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности w энергии волны. Потоком энергии Ф через некоторую площадку S среды называется отношение энергии W, переносимой через эту площадку за малый промежуток времени t, к величине промежутка времени t:

 

(5.17)

 

Количество энергии, переносимой за единицу времени t через единичную площадку S называется плотностью потока энергии U:

 

(5.18)

 

Пусть энергия W элементарного объема V = Sυt (рисунок 5.6) переносится волной со скоростью υ. Тогда плотность потока энергии с учетом (5.4.5) равна:

(5.19)

 

Так как - величина векторная, то:

 

(5.20)

 

где - вектор плотности потока энергии, или вектор Умова, Дж/с∙м2 .

Иначе:

 

(5.21)

 

т.е. вектор Умова имеет физический смысл потока энергии через некоторую площадку. Скалярная величина I, равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны:

 

(5.22)

 

Так как по (5.15) , то

 

(5.23)

 

то есть интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды волны.

При распространении волны в изотропной среде за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются равные объемы среды, поэтому интенсивность и амплитуда волны по мере распространения не изменяются, если только в среде не происходит преобразование энергии колебаний в другие виды энергии, т.е. поглощение.

В сплошной среде поглощение упругих волн обусловлено внутренним трением и теплопроводностью. В такой среде амплитуда и интенсивность волн меняются по экспоненциальному закону:

 

(5.24)

 

(5.25)

 

где α - линейный коэффициент поглощения, зависящий от свойств среды и частоты волны, м-1 ;

A0 - амплитуда источника, м;

I0 – интенсивность источника, Вт/м2;

ℓ - расстояние, на которое распространяется волна, м.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.