Приближенная теория гироскопа

Гироскопом называют тело, имеющее неподвижную точку и вращающееся вокруг оси материальной симметрии.

Предположим, что гироскоп вращается с угловой скоростью вокруг собственной оси симметрии. В этом случае кинетический момент

Это одна из важнейших характеристик при движении гироскопа.

В приближенной теории гироскопа принимают, что ₁ << и кинетический момент гироскопа равен

Гироскоп с тремя степенями свободы

Гироскоп с тремя степенями свободы способен сопротивляться попытке изменения оси вращения гироскопа.

Рассмотрим гироскоп, у которого неподвижная точка совпадает с центром масс.

Рассмотрим сначала покоящийся гироскоп ( = 0, L = 0). Если к гироскопу приложить силу , то очевидно, что гироскоп получит вращательное движение и упадет (т.е. ось гироскопа будет поворачиваться в плоскости чертежа).

Рассмотрим вращающийся (быстро) гироскоп. Прикладываем силу .

По теореме об изменении кинетического момента

Момент перпендикулярен к плоскости чертежа, тогда

Если к оси гироскопа прикладывается сила, то ось гироскопа смещается перпендикулярно действующей силе по направлению вращающего момента.

Если действие силы прекращается, то ось вращения гироскопа останавливается. ^ Говорят, что гироскоп способен противодействовать действию внешних сил.

Рассмотрим случай регулярной прецессии.

Имеется гироскоп, у которого центр масс не совпадает с неподвижной точкой.

На тело действует сила

Допустим OC = h, тогда

Отметим:

Под действием силы тяжести ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси z. Такое явление называется регулярной прецессией.

Введем угловую скорость ₁ – это угловая скорость, с которой ось гироскопа вращается вокруг оси z, ее еще называют “угловая скорость прецессии”.

Движение юлы – очень хороший пример движения гироскопа.

Гироскоп с тремя степенями свободы находит широкое применение в современных системах ориентирования (гирокомпас, гирогоризонт …).
^

Билет 12

Вопрос 1

Если голономная механическая система описывается лагранжианом ( — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Количеством движения системы материальных точек называется векторная сумма количеств движений отдельных точек системы.

Единицей измерения количества движения в СИ является —

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс.

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает^[2][3]:

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

• Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .
• Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать , а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — . Очевидно, что при , то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и — значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а — импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Поиск по сайту: