До системи однорідних тіл 1 та 2 (рис. 8.11), що обертаються з кутовою швидкістю = 6с-1, прикладається обертальний момент М = (3 + 7t) Н • м. Знайти статичні та додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t1 = 2с, якщо:
m1=3 кг; m2=5 кг; е1=0,1 мм;е2= 0,3 мм; l1= 0,25 м; l2 = 0,25 м; а = 0,05 м; b = 0,15 м; R1=0,1 м; R2=0,2 м.
Розв'язання. Переміщенню тіл 1 та 2 (рис 8.11) перешкоджають в'язі: нерухомі (циліндричні) шарніри А і В. На підставі аксіоми звільнення від
Рисунок 8.1
Рисунок 8.2
Рисунок 8.3
Рисунок 8.4
Рисунок 8.5
Рисунок 8.6
Рисунок 8.7
Рисунок 8.8
Рисунок 8.9
Рисунок 8.10
в'язей, дію шарнірів А і В та тіла замінюємо реакціями в'язей – YA, XA, YB, XB (рис. 8.12).
Рисунок 8.11
Реакції YA, XA, YB, XB запишемо як суму статичних YAC, XAC, YBC, XBC та додаткових динамічних реакцій YAД, XAД, YBД, XBД.
YA = YAC + YAД, XA = XAC + XAД, (8.1)
YB = YBC + YBД, XB = XBC + XBД.
Рисунок 8.12
Статичні реакції в'язей визначаються при = 0, = 0 з рівнянь (рис.8.12):
Розв'язуючи систему рівнянь, маємо:
таким чином маємо: RAC = 54,85 Н, RBC = 23,63 Н.
Запишемо рівняння для визначення додаткових динамічних реакцій в'язей:
де - кутове прискорення і - кутова швидкість тіл при t1 = 2с ,
Ixzi і Iуzi - доцентрові моменти інерції тіл (i = 1,2).
Кутову швидкість та кутове прискорення тіл знайдемо із диференціального рівняння руху тіл навколо осі z
(8.3)
де IZ - момент інерції тіл відносно осі z.
Оскільки , тоді
(8.4)
Інтегруємо диференціальне рівняння (8.4) при початкових умовах: при
t1=0,
(8.5)
Звідки:
Визначимо кутове прискорення (8.3) та кутову швидкість (8.5) при
t1 = 2 c.
де
Оскільки значення і , від'ємні, то кутове прискорення та кутова швидкість тіл при t1 =2с направлені в протилежну сторону ю0(у напрямку крутного моменту М).
Координати центра мас та доцентрові моменти Ixzi і Iуzi тіл 1 і 2 (рис. 8.11):
Або, підставляючи числові дані, отримаємо:
Тепер із рівнянь (8.2) знаходимо додаткові динамічні реакції шарнірів А і В через їх проекції на осі X та У.
Додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В
При t1= 2 с додаткові динамічні реакції шарнірів складають 62,2% для шарніра А та 29,2% для шарніра В від статичних реакцій в'язей.
Література
1. Айзенберг Т.Б., Воронов Н.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике.-М.:Высш.шк., 1968. – 436 с.
2. Бать М.Н., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: В 3 т.-Т.2.: Наука, 1985. – 560 с.
4. Бражниченко Н.А. и др. Сборник задач по теоретической механике / Н.А. Бражниченко, Н.Л. Кац, Б.Л. Минцберг, В.Н. Морозов. –М.: Судпромгиз, 1963. – 562 с.
5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: В 2 т. – Т.2. – М.: Наука, 1979. –461 с.
6. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики: В 2 ч. – М.: Наука, 1967. – ч.1. – 468 с.; ч.2. – 332 с.
7. Гернет М.М. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1981. – 303 с.
8. Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. – М.: Высш. шк., 1974. – 528 с.
9. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики: В 2т. –М.: Наука, 1972 – 1977. – Т.1. – 456 с.; Т.2. – 462 с.
10. Лойценский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: В 2 т. –М.: Наука, 1984. – Т.1. – 352 с.; Т.2. – 640 с.
12. Савин Г.Н., Путята Т.В., Фрадлин Б.Н. Курс теоретической механики. –К.: Высш. шк., 1973. – 359 с.
13. Сборник заданий для курсових работ по теоретической механике: Учеб. пособ. для техн. вузов/ Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др.; Под ред. А.А. Яблонского. – 4-е изд., пере раб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с.
14. Тарг С.М. Кратний курс теоретической механіки. – М.: Наука, 1974. – 400 с.