ДС.1 Використання теореми про рух центра мас для визначення переміщення тіл
Визначити переміщення призми 1 по горизонтальній гладенькій поверхні, якщо центр мас тіла 2 опустився на відстань S відносно призми 1 (вар. 1.1-1.19) або тіло 2 повернулося на заданий кут навколо горизонтальної осі (вар. 1.20-1.30). В початковий момент часу матеріальна система знаходиться у спокої.
Дані для розрахунків приведені в табл. 1.1. ( )
Таблиця 1.1
Варіант
Рисунок 1-20
Рисунок 21-30
S,
м
m ,
кг
m ,
кг
m3,
кг
град.
R,M
r,M
m ,
кг
m ,
кг
m3,
кг
град.
l,
м
0,3
0,2
0,4
0,1
0,5
0,6
0,7
0,15
0,35
0,25
0,4
0,3
0,2
0,1
0,15
0,25
0,35
0,45
0,5
0,3
0,3
0,2
0,15
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,25
0,15
1.5
0,3
0,4
0,5
0,2
0,1
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
Рисунок 1.1
Рисунок 1.2
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4
Рисунок 1.5
Приклад виконання завдання
По похилій площині (рис. 1.6) призми 1 маси m1=10кг спускається вантаж 2 (m2=6кг), який тягне за допомогою невагомої вантаж 3 масою m3=4кг.
Знайти переміщення призми 1 по гладенькій горизонтальній площині, якщо тіло М2 опустилось по похилій площині на S=0,5м.
Розв’язання. Покажемо зовнішні сили, які прикладені до матеріальної системи, що складається з призми 1 та тіл 2, 3. Такими самими є: P1=m1g – сила ваги призми, P2=m2g i P3=m3g – вага відповідно другого та третього вантажів, N – реакція гладенької горизонтальної поверхні.
Рисунок 1.6
Запишемо теорему про рух центра мас матеріальної системи в проекціях на вісь Х:
(1.1)
де , - проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь Х.
Оскільки = 0, то = 0. Тоді
В початковий момент часу система знаходилась у спокої і тому . Із формули (1.1) маємо:
.
Таким чином, координата ХС центра мас матеріальної системи залишається сталою незалежно від переміщень тіл, що входять у систему.
Визначимо положення центра мас системи в початковий момент часу:
(1.2)
Якщо вантаж 2 переміститься на величину , тоді тіло 3 – на , а призма 1 - і положення ХС центра мас знайдемо за формулою:
. (1.3)
Враховуючи (1.2), із формули (1.3) отримаємо:
. (1.4)
Переміщення та складається із відносного по призмі і переносного разом із призмою.
Тепер із формули (1.4) знаходимо переміщення призми.
Знак “мінус” вказує на те, що призма 1 перемістилася в сторону протилежну додатному напрямку осі Х.