Динаміка - це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються закони механічного руху тіл під дією прикладених до них сил.
Основні закони динамiки були сформульованi I. Ньютоном у безсмертнiй працi ”Математичнi начала натуральної філософії” (1687 р.).
Маса - фiзична характеристика матерiальних об’єктiв, яка є мiрою їх iнерцiйних i гравiтацiйних властивостей. Виразником iнерцiйних властивостей тiла маса виступає в законах динаміки; виразником гравiтацiйних властивостей маса входить в закон тяжiння.
За І. Ньютоном маса тiл вимiрюється порiвнянням їх ваги на терезах з коромислом.
У одного тiла маса гравiтацiйна та маса iнерцiйна збiгаються.
Тiло з масою m має енергiю Е = mс2 ( тут с = 3·108 м/с - швидкiсть свiтла у вакуумi).
Закони Ньютона
Перший закон Ньютона - закон інерції: будь-яке тiло продовжує зберiгати свiй стан спокою або рiвномiрного прямолiнiйного руху, поки i оскiльки його не спонукають змiнити цей стан прикладенi сили. Тут під термiном ”будь-яке тiло” треба розумiти матерiальну точку.
Перший закон стверджує динамiчну рiвноправнiсть стану спокою i рiвномiрного прямолiнiйного руху. Два стани - спокою i рiвномiрного прямолiнiйного руху - Ньютон розглядає як природнi стани всякого тiла. Здатнiсть тiл перебувати в цих природних станах i є те, що називається iнерцiєю тiл.
Закон iнерцiї справедливий тiльки вiдносно цiлком певної системи вiдлiку – ”iнерцiальної” системи. При розглядi бiльшостi технiчних задач iнерцiальною можна вважати систему, незмiнно пов’язану із Землею.
Другий закон - закон дiї сил: змiна кiлькостi руху матерiальної точки пропорцiональна до прикладеної рушiйної сили і вiдбувається в напрямку тiєї прямої, по якiй ця сила діє:
, (2.1)
де m - маса матерiальної точки , - її швидкiсть, - сила, яка прикладена до точки, k - коефiцiєнт пропорцiональностi.
В усiх системах одиниць вибiр одиниць вимiрювання сили i маси узгоджено в такий спосiб, що коефiцiєнт пропорціональності k дорiвнює безрозмiрнiй одиницi.
При m = const i d /dt = ( - прискорення матерiальної точки) маємо
m = . (2.2)
Рiвнiсть (2.2) читається так: у кожний момент часу добуток маси матерiальної точки та її прискорення дорiвнює рушiйнiй силi, а напрямок вектора прискорення збiгається з напрямком сили.
Рiвнiсть (2.2), яка виражає другий закон Ньютона, справедлива лише за умови, що рух матерiальної точки вiднесено до iнерцiальної системи вiдлiку.
Третiй закон - закон взаємодiї тіл: дiї завжди вiдповiдає рiвна їй i протилежно направлена протидiя; iнакше кажучи, - сили взаємодiї двох матерiальних точок завжди мiж собою рiвнi i направленi в протилежнi боки.
Третiй закон Ньютона стверджує, що в природi iснує тiльки взаємодiя тiл, причому дiя i протидiя за величиною рiвнi, а за напрямком протилежнi. Це справедливо і у випадку спокою, і у випадку руху тiл. Наприклад, Земля i камiнь, що падає на неї, є цiлком рiвноправними тiлами: сила притягання каменя до Землi дорiвнює силi притягання Землi до каменя. З цього i з рiвняння (2.2) випливає, що прискорення взаємодiючих тiл - Землi i каменя - обернено пропорцiональне їх масам.
Четвертий закон - закон незалежностi дiї сил: якщо на матерiальну точку дiють кiлька сил одночасно, то вони надають точцi такого складного руху, який кiнематично складається з рухiв, що їх кожна сила окремо здатна надати точці, що рухається без початкової швидкостi; якщо ж точка вже має певну швидкiсть i на неї дiє ще й сила, то рух точки кiнематично складається з руху за iнерцiєю i руху вiд дiї сили.
Математичний змiст принципу незалежностi дiї сил такий: при одночаснiй дiї на матерiальну точку сил i прискорення точки дорiвнюватиме геометричнiй сумi тих прискорень, якi були б при роздiльнiй дiї сил:
. (2.3)
Вiдомо, що геометрична сума прикладених до точки сил називається рiвнодiючою:
= +.
Тоді
m = .
Якщо на точку дiють одночасно декiлька сил, то другий закон Ньютона записують у виглядi:
. (2.4)
Три форми диференцiальних рiвнянь
Векторна форма
Запишемо другий закон Ньютона так:
, (3.1)
де m – маса точки, d2/dt2 = – її прискорення, – рiвнодiюча сил, прикладених до точки.
Рiвнiсть (3.1) називається основним диференцiальним рiвнянням руху матерiальної точки у векторнiй формi.
Координатна форма
Проектуємо рiвняння (3.1) на вісi прямокутної декартової системи координат Oxyz:
(3.2)
де Fx,Fy,Fz - проекцiї сили на декартовi осi координат.
Рiвняння руху в цилiндричних координатах:
(3.3)
де Fr, Fφ, Fz - проекцiї рiвнодiйної прикладених до точки сил на вiсi r, φ, z ( рис. 3.1 ).
Рис. 3.1
Натуральна форма
Розкладаючи вектор прискорення на два компоненти по взаємно перпендикулярних напрямках дотичної i головної нормалi, одержимо:
(3.4)
В такому разi рiвняння руху точки в натуральнiй формi будуть мати вигляд:
(3.5)
де Fτ i Fn– проекцiї рiвнодiючої сил, що дiють на точку, на додатно зорiєнтованi дотичну i головну нормаль (рис. 3.2).
Сила i прискорення точки завжди лежать у стичнiй площинi, орiєнтацiя якої в просторi визначається одиничними векторами i . Проекцiя сили на бiнормаль дорiвнює нулю.
Рис. 3.2
§ 4. Двi основнi задачi динамiки точки. План їх розв’язання
У динамiцi матерiальної точки можна ставити i розв’язувати задачi двох основних типiв.
Перша основна задача.
Вiдомий закон руху матерiальної точки
, (4.1)
треба визначити рiвнодiючу сил, якi зумовили рух точки. Маса точки задається.
Спосiб розв’язування задачi: диференцiюємо двiчi рiвняння (4.1) i знаходимо прискорення (вiрнiше, його проекції на вісі). За диференцiальним рiвнянням руху знаходимо силу або її проекцiї.
Друга основна задача (обернена).
Заданими є сила F = F(t, r, v) i ”початковi умови”: в певний (початковий) момент часу t0 заданi радiус-вектор i швидкiсть v0 точки. Вiдома також маса точки. Необхідно знайти закон руху точки в просторi.
Щоб розв’язати цю задачу, треба скласти диференцiальнi рiвняння руху i проiнтегрувати їх.
Момент часу t0 називається початковим; положення точки, яке визначається радiус-вектором , називається початковим положенням; швидкiсть точки в момент часу t0 називається початковою швидкiстю v0.
При розв’язуваннi задач динаміки матеріальної точки корисно додержуватись такого плану:
1) аналiз сил; для цього треба:
а) видiлити дослiджуване тiло;
б) вказати усi навколишнi тiла, якi дiють на дослiджуване тiло;
в) визначити всi сили, що дiють на об’єкт дослiдження в русi вiдповiдно до тiл, перерахованих у пунктi б);
г) вказати залежнiсть сил вiд фiзичних параметрiв: часу, положення (координат), швидкостi i т. iн.;
2) показати на рисунку матерiальну точку (тiло) і прикладенi до неї заданi сили в довільний момент часу;
3) звiльнити точку вiд в’язей i показати сили реакцiй в’язей;
4) вибрати систему вiдлiку;
5) скласти диференцiальнi рiвняння руху матерiальної точки;
6) розв’язати складенi рiвняння руху;
7) проаналiзувати розв’язок.
5. Диференцiальнi рiвняння руху невiльної матерiальної точки