Двойной интеграл как объем тела

Рассмотрим основной геометрический смысл двойного интеграла . Предполагаем, что функция существует в каждой точке плоской области .

Геометрически функция двух переменных задаёт некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Для определенности считаем, что , то есть поверхность располагается над плоскостью .

Тогда двойной интеграл численно равен объёму цилиндрического бруса :

Что такое цилиндрический брус, думаю, всем понятно из чертежа. Плоская фигура (заштрихована на чертеже) полностью лежит в плоскости и брус ограничен областью снизу. Сверху брус как раз ограничен поверхностью , которая представляет собой такую шапку. Образно говоря, плоская область по своей границе перпендикулярными лучами вырезает из поверхности эту шапочку.

Дополнительно поясню геометрический смысл на Примере 1. В нём мы рассматривали двойной интеграл , причём область интегрирования имела следующий вид:

Подынтегральная функция задаёт плоскость в пространстве. Из начала координат перпендикулярно экрану монитора мысленно проведите на себя стрелку оси . В данном примере плоскость располагается в пространстве над областью , поэтому объем тела получился положительным: . Возможно, не всем до конца понятно, о каком объеме идёт речь: из границы области направьте на себя лучи. Эти лучи вырежут кусочек из плоскости , которая лежит над областью .

Двойной интеграл может быть и отрицательным, в таких случаях график функции полностью (или бОльшей частью) лежит под областью . Это тоже объем тела, только со знаком минус, поскольку поверхность полностью (или бОльшей частью) лежит подкоординатной плоскостью .

Прошу прощения, пока не подыскал программы для построения трехмерных чертежей, которая бы меня устраивала, пришлось объяснять на пальцах.

Однако на практике почти всегда встречаются задачи на формальное вычисление двойных интегралов, поэтому мы продолжим совершенствовать технику вычислений:

Пример 3

Вычислить двойной интеграл
,

Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:

После того, как корректно выполнен чертеж и правильно найдена область интегрирования, самое время разобраться с порядком обхода.

Согласно первому способу обхода, область придется разделить на две части, при этом необходимо будет вычислить следующие интегралы:

Энтузиазма, прямо скажем, мало. Проанализируем, а не проще ли использовать второй способ обхода области? Перейдем к обратным функциям, переход здесь элементарен:

Порядок обхода области:

Таким образом:

Ну вот, совсем другое дело. И снова заметьте, что во внутреннем интеграле интегрирование осуществляется по «икс», поэтому константу можно сразу вынести во внешний интеграл

1) Найдём внутренний интеграл:

Всё-таки подстановка пределов интегрирования, порой, выглядит своеобразно. Сначалавместо «икса» мы подставили верхний предел интегрирования , затем вместо «икса» подставили нижний предел интегрирования . Будьте внимательны при подстановках!

2) Результат предыдущего пункта подставим во внешний интеграл, при этом не забываем про , который там уже находится:

Ответ:

Для тренировки можете попробовать вычислить двойной интеграл менее рациональным способом: . Результаты должны совпасть.

Пример 4

Вычислить двойной интеграл
,

Это пример для самостоятельного решения. Постройте область и проанализируйте, какой способ обхода области выгоднее использовать. Полное решение и ответ в конце урока.

Усложняем задачу, теперь подынтегральная функция будет представлять собой сумму. Рассмотрим еще два примера, где я остановлюсь на приёме вычисления интеграла, который типичен и эффективен для кратных интегралов:

Пример 5

Вычислить двойной интеграл
,

Решение: Сначала рассмотрим то, чего делать не нужно – в данном случае не следует использовать свойства линейности кратного интеграла и представлять его в виде:

Почему? Вычислений заметно прибавится!

Решение, как обычно, начинаем с построения области интегрирования:

Область незамысловата, даже штриховать не буду. В данном примере, как легко заметить, не имеет особого значения порядок интегрирования, поэтому выберем первый, более привычный вариант обхода области:

Таким образом:

Здесь, в отличие от двух предыдущих примеров, из внутреннего интеграла ничего вынести нельзя, поскольку начинкой является сумма.

С повторными интегралами опять разбираемся по отдельности. Да, кстати, кто хочет посмотреть, как решать повторные интегралы одной строкой, пожалуйста, зайдите на страницу Готовые решения по высшей математике и закачайте архив с примерами решений кратных интегралов.

1) Сначала берём внутренний интеграл:

Хотелось бы остановиться на нескольких существенных моментах. Во-первых, о частном интегрировании. О нём я уже подробно рассказывал в статье Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Вкратце повторюсь:

Поиск по сайту: