Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Інтегрування заміною змінної



 

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на деякому інтервалі (a, b), а x=j(t) має неперервну похідну по t, причому область зміни функції x=j(t) належить області визначення функції f(x), тоді виконується рівність

(1)

Доведення. Покажемо, що ліва і права частини рівності (1) - це первісні для однієї функції відносно змінної . Дійсно ліва частина(1) є складною функцією відносно , тому похідна її по дорівнює:

А похідна правої частини теж має такий самий вигляд

.

Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються на сталу величину С, що і стверджує рівність (1).

Приклад 1.

Приклад 2.

ПрикладиЗнайти інтеграли.

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.

 

10. (заміна ) 11.
12. 13.
14. 15

Відповіді: 1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. 8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. . 15. .

 

 


Інтегрування простих дробів

Нижче застосовуються посилання на таблиці інтегралів, коротко Т1, Т2, Т3. Наприклад, Т2, 4 – таблиця 2 інтегралів, формула 4.

рекурентна формула . Якщо позначити , то коротше можна записати

Підставивши n=2, маємо

При n=3 виразимо J3 через J2 і т.д.

Виділимо повний квадрат

, де позначено , тоді

можна звести до табличних, якщо:

а) виділити повний квадрат;

б) за допомогою заміни змінної, яку подаємо нижче.

 

Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен

Знаходження інтегралів

які містять квадратний тричлен можна здійснити за допомогою заміни змінної відповідно слідуючій схемі.

1) Знаходимо похідну квадратного тричлена і виносимо коефіцієнт при х за дужки

2) Вираз в дужках замінимо

3) Переходимо до змінної t під знаками інтегралів. Маємо

де позначино

Тепер відносно нової змінної t запишемо

Для інтегралів I3 i I4 потрібно розглядати випадки: 1) a>0 i

2) a<0, розуміючи при цьому, що інтегрування можливе в області, де

Отже, 1) a>0, тоді

2) a<0, тоді (перед k2 можливий тільки знак “–”), отже

а далі за рекурентною формулою. В кінці розглянемо інтеграл

Перший з двох інтегралів знаходиться за таблицею 3, формула 1, другий – за рекурентною формулою.

Зауваження. В отриманих результатах інтегрування I1–I6 необхідно повернутись до змінної х, підставити

Приклад 1.

Розвязання.1)

2) Заміна:

Приклад 2.

Розвязання. 1) .

2) Заміна: .

.

.

Приклад 3. .

Розвязання. 1) .

2) Заміна: .

3)

.

.

Приклади.

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10.    

Відповіді: 1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Раціональні дроби

 

Нехай Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an многочлен n–го степеня відносно х, а01,...,аn – задані коефіцієнти. Функція

яка є відношенням двох многочленів, називається раціональним дробом, або раціональною функцією.

Якщо m³n, то раціональний дріб називається неправильним; якщо ж m<n, то дріб – правильний. Зауважимо, що якщо дріб неправильний, то розділивши чисельник на знаменник, ми отримаємо цілу частину – деякий многочлен, а також правильний дріб. Тому далі йтиме мова про правильні раціональні дроби.

Припустимо, що знаменник може бути розкладений на множники

 

Pn(x)=a0(x–a)...(x–b)k...(x2+px+q)...(x2+rx+s)l (1.1)

Правильний раціональний дріб можна розкласти на прості дроби на основі такої теореми.

Теорема. Якщо знаменник раціонального дробу розкладається на множники згідно (1), то для правильного раціонального дробу має місце розклад на прості дроби

де коефіцієнти А, В, С,...,S, T знаходяться за так званим методом невизначених коефіцієнтів.

Звернемо увагу на три моменти.

Перше, коефіцієнт а0 в (1.1) можна вважати рівним 1, бо при дальнішому інтегруванні його можна винести за знак інтеграла.

Друге, серед співмножників x2+px+q чи (x2+rx+s)n можуть бути окремі випадки х2±k2, чи (x2±k2)n, коли p чи r дорівнюють нулю, а вільні члени можна представити, як ±k2.

Третє, метод невизначених коефіцієнтів викладемо на конкретному прикладі в наступному параграфі.

Приклади. Записати розклад правильних дробів на прості.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.