Вправи на застосування таблиць інтегралів

Після розгляду наведених нижче прикладів рекомендується переписати їх умови і розв’язати самостійно, записуючи по памяті необхідну для цього формулу.

I. Інтеграли вигляду

Довідка. При інтегруванні степеневих функцій приходиться добуток і частку різних степенів змінної зводити до одного степеня з раціональним показником :

1. 2.

3. 4.

5. 6. 7.

8. 9.

В співвідношеннях 6) - 9) - натуральне, - ціле, а в співвідношеннях 1) - 4) - довільні дійсні числа.

Зауваження. Нижче будуть використовуватись скорочення при посиланні на таблиці, наприклад,Т3(7) : таблиця 3 (формула 7) , або посилання на довідку, наприклад,Д9 : довідка (формула 9).

.

II. Інтеграли вигляду

.

.

III. Інтеграли вигляду

IV. Інтеграли вигляду

V. Інтеграли вигляду

Приклади. Користуючись властивостями та таблицями 1-3, знайти інтеграли. Результати перевірити за допомогою дифереціювання.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

В прикладах 58-73 підінтегральні вирази зводяться до табличних після додаткових перетворень

Інтегрування частинами

Теорема. Нехай функції U=U(x) i V=V(x) диференційовні на деякому інтервалі (a, b), тоді на (a, b) виконується рівність

(1)

Доведення.Із власивостей диференціала відомо:

.

Перейшовши до інтегралів, отримаємо рівність (1).

Приклад 1.

Інтегруємо частинами за формулою (1)

Візьмемо

, тоді

Приклад 2.

Із наведених прикладів бачимо, що складність інтегрування залежить від вдалого розподілу підінтегрального виразу на два співмножники і . В окремих випадках функція при диференціюванні може спрощуватись, наприклад, якщо ,то і - уже многочлен - го степеня. Вираз для повинен бути таким, щоб інтеграл від був табличним або зводився до нього. В противному випадку розподіл підінтегрального виразу на і потрібно змінити.

Так, наприклад в інтегралах потрібно вибрати , а за відповідно брати тоді знаходиться за таблицею інтегралів.

В інтегралах за потрібно відповідно брати , тоді і легко знаходиться інтегруванням.

Приклади. Знайти інтеграли.

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.

Відповіді: 1. .

2. .

3. .

4. 5. .

6. . 7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. . Вказівка. У чисельнику спочатку перетворити , а тоді інтегрувати частинами.

Поиск по сайту: