Приклад виконання завдання К1

Міністерство освіти і науки України

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ

Методичні вказівки та завдання

для розрахункових індивідуальних робіт з

кінематики для студентів будівельних спеціальностей

Затверджено на засіданні кафедри

будівельної механіки

Протокол № 4 від 14.11.07

Укладач Ковревський А. П.

Харків ХДТУБА 2008

ВСТУП

Кінематика – це розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух як окремих точок, так і системи точок і твердих тіл з геометричної точки зору, незалежно від діючих на них сил.

Механічні рухи відбуваються у просторі та часі. У теоретичної механіці простір вважається тривимірним евклідовим. Час вважається однаковим у будь-яких системах відліку і незалежним від руху цих систем відносно одна одної.

Вивчаючи рух тіла, завжди слід знати, відносно якого іншого тіла, що на- зивається тілом відліку, розглядається цей рух. З тілом відліку пов’язують деяку систему координат. У кінематиці немає значення, який рух здійснює вибрана система координат відносно інших тіл, що не входять у межі розв’я- зуваної задачі, проте завжди слід звертати увагу на те, що характер спостереж- ного руху значною мірою залежить від вибору системи координат.

Оскільки вибір тіла відліку у принципу є довільний, то і рух завжди має відносний характер.

У даних методичних вказівках розглядуються чотири завдання для індиві- дуальних розрахунково– графічних робіт з найважливіших розділів кінематики:

- кінематика точки;

- обертальний рух твердого тіла;

- плоский рух твердого тіла;

- складний рух точки.

Кожен розділ містить загальні положення, приклади виконання завдання і варіанти завдань для самостійної роботі.

Завдання повинні виконуватися на листах формату А4 зі штампом.

Тема 1КІНЕМАТИКА ТОЧКИ

Загальні вказівки

Внаслідок вивчення даної теми студент повинен ясно уявити собі способи задання руху точки і методику визначення швидкості та прискорення точки за різних способів задання руху ( [ 1] ).

При координатному способі рух задається в нерухомій системі декартових прямокутних координат: x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Швидкість та прискорення точки визначають за їх проекціями на осі коор– динат:

Щодо траєкторії, то рівняння руху являють собою її рівняння в параметрич- ній формі (тобто траєкторію можна побудувати за точками, змінюючи з деяким

кроком параметр – час t). Іноді зручно уявити рівняння траєкторії в явній фор- мі, для чого потрібно виключити параметр t з рівнянь руху (дивись приклад ви- конання завдання К1).

При природному способі задання руху траєкторія вважається відомою (от- же, відомі її радіуси кривизни в будь-якій точці).Також заданий закон руху вздовж траєкторії . Для визначення швидкості та прискорення вико-ристовують так звану природну систему координат. Початок системи розташо-

ваний у рухомій точці. Її осі складають:

: - дотична до траєкторії (орт ; додатний

напрям- в бік додатного відліку дугової

координати);

- головна нормаль (орт , завжди спря-

мований до центра кривизни в даній точ-

ці траєкторії);

- бінормаль (орт ,спрямований перпен-

+ дикулярно до площини ( ) таким чи-

Рис.1.1 ном, щоб трійка векторів була пра-

вою). На рис.1.1 показано природну сис- тему координат для точки, що рухається вздовж кола.

Швидкість та прискорення визначаються за їх проекціями на осі природної системи координат.

Оскільки швидкість за визначенням дотична до траєкторії, вона має тільки одну проекцію: . Проекції прискорення: ( - радіус кривизни тра- єкторії). Очевидно, .

Відмітимо, що складові вектора прискорення називають відповідно нормаль- ним та дотичним прискореннями: .

Покажемо зв’язок між координатною та

у природною формами визначення при-

скорення. Нехай точка рухається в

площині хОу (рис.1.2). Вектор прис-

корення можна одночасно проектува-

a_y ти як на осі Ох, Оу, так і на осі .

Очевидне співвідношення:

Величину дотичного прискорення

а_х х

Рис.1.2

можна визначити за допомогою v_x, v_y, a_x, a_y. Дійсно, . Якщо взя- ти похідну за часом, отримаємо: . Звідси маємо:

.

Завдання К1

Побудувати траєкторію точки на інтервалі часу с. В момент часу t=t₁ визначити і побудувати в обраному масштабі вектори та . Визначити та радіус кривизни траєкторії при t=t₁ с.

Таблиця 1.1 Варіанти завдання К1

№ вар	x(t) см	y(t) см	t1 сек	t2 сек	№ вар	x(t) см	y(t) см	t1 сек	t2 сек
	-2t2+3	-5t	0.5	0.8		3t	4t2+1	0,5	0,8
	4cos	4sin		1.5		7sin	- 7cos		1,5
				1.5		1+3cos	3sin		1,5
	4t+4	-4/(t+1)		2.2		- 5t2- 4	3t3		1,2
	2sin	4-3cos		1.5		6sin	6cos		1,2
	3t2-t+1	15t2-5t-6		1.5		2-3t-6t2	6-3t-6t2	0,5	0,8
	3t2+2	-4t	0.5	0.8		7t3- 3	5t	0,8	1,2
	7sin	2-7cos		1.5		4cos	2sin		1,5
	-3/(t+2)	3t+6		2.5		3-3t2+t	12-15t2+5t		1,5
	- 4cos	2sin		1.5		-6t4	-2t2- 4		1,2
	- 4t3+1	-3t	0.5	0.8		2 e2 t	3t+2	0,5
	5sin	5cos		1.5		4t2	2e0.5 t		1,5
	5cos	--4sin		1.5		t3+t	2t2+2		1,2
	- 2t-2	- 2/(t+1)		2.2		3cos	3t2	0,33	0,8
	4cos	- 3sin		1.5		3et	2t2		1,5

Приклад виконання завдання К1

Вихідні дані: x(t)=3cos y(t)= 4sin см, t₁=1 c, t₂=2 c.

1 Визначаємо рівняння траєкторії в явній формі:

, слід., -траєкторія- еліпс.

2 Будуємо траєкторію точки на інтервалі часу 0 – 2 с (рис.1.3).

3 Позначимо положення точки при t=1 c (x(1)=2,6, y(1)=4).

4 Визначаємо проекції вектора швидкості: . При t=1с v_x=-0,785, v_y=1,815 см/с. Величина швидкості см/с,

5 Будуємо на рисунку вектор швидкості .

6 Визначаємо проекції вектора прискорення і будуємо вектор :

.

При t=1c а_х=-0,713 см/с², а_у=-0,548 см/с², а= =0,899 см/с².

7 Обчислюємо дотичне прискорення при t=1c

y = -0,204 см/с²

v_y 8 Обчислюємо нормальне приско-

a_x v_x рення: =0,875 см/с²

t=1 9 Визначаємо радіус кривизни тра-

єкторії при t=1c:

C a_y 5,185 см.

__________________________

x Обчислювання координат точки:

Рис.1.3

Тема 2 ОБЕРТАЛЬНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА

2.1 Загальні вказівки

Положення у просторі тіла, що обертається навколо нерухомої осі, визначається кутом повороту , який задається як функція часу (рівняння обертального руху).

За відомим кутом обертання можна визначити кутову швидкість та кутове прискорення тіла: .

Швидкість точки тіла, яка розташована на відстані h від осі обертання, виз- начається за формулою . Звертаємо увагу на те, що швидкість точки ті- ла пропорційна її радіусу, а вектор швидкості завжди перпендикулярний до ра- діуса й спрямований в бік обертання (рис.2.1).

Прискорення точки тіла складається з двох компонентів: обертального а_об=

= та доцентрового а_дц= прискорень. Повне прискорення а= =

= (рис.2.2).

Кут між вектором прискорення і радіусом визначається за допомогою його тангенса: . Кут не залежить від радіуса, він однаковий для всіх точок тіла. Отже, прискорення також пропорційно радіусу. Вектор прискорен- ня нахилений до радіуса на кут .

а_дц

а_об

Рис.2.1 Рис.2.2

Завдання К2

Вантаж А опускається наниз за законом y=f(t) і приводить в рух шестерню (шків) 1, яка передає обертання шестерні (шківу) 2. Визначити швидкість та прискорення точки М на ободі шестерні 2 в момент часу t₁= 2 с (рис.2.3)

Таблиця 2.1 Варіанти завдання К2

Поиск по сайту: