Скорости и ускорения в различных системах отсчета

Обычно на практике механическое движение какого-то тела могут изучать несколько наблюдателей, находящихся в различных системах отсчета. В связи с этим возникает необходимость в сравнении результатов, полученных в различных системах отсчета. И, кроме того, от выбора системы отсчета зависит объем вычислений при решении практических задач. Заметим, что ниже приведенные соотношения справедливы для скоростей движения значительно меньших скорости света в вакууме ( ).

Постановка задачи. Имеются две произвольные системы отсчета и , движущиеся относительно друг друга. Известны скорость и ускорение точки в системе. Каковы значения величин и в системе.

Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

1. система движется поступательно по отношению системе.Пусть положение движущейся точки в системе определяется радиус–вектором , а в системе –– радиус–вектором (см. рис. 1.7). система движется поступательно относительно системы. Положение начала отсчета системы (точка ) определяет радиус–вектор .

Очевидно что, векторы и связаны соотношением:

. (1.41)

Для бесконечно малых перемещений и точки соответственно в исистемах справедлива формула:

. (1.42)

Скорости точки ( и ) в исистемах связаны соотношением:

, (1.43)

где скорость системы относительно системы.

Для ускорений имеем равенство:

, (1.44)

где ускорение точки в исистемах соответственно, ускорение системы относительно системы.

Из соотношений (1.42)––(1.44) следует, что в перемещение, скорость и ускорение точки зависит от выбора системы отсчета, т.е. не являются инвариантными величинами для различных систем отсчета.

В том случае, когда система движется поступательно с постоянной скоростью ( ), ее ускорение , и, следовательно, имеем равенство:

. (1.45)

В этом случае ускорением точки постоянно в исистемах. Это означает то, что в инерциальных системах[2] отсчета ускорение является инвариантной величиной.

2.
система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе.[3]Совместим исистемы, начало отсчета возьмем на оси вращения. В этом случае в начальный момент времени радиус–вектор точки можно выбрать одинаковым в исистемах ( ). Пусть и скорости точки в исистемах, тогда перемещение этой точки в системе равно , а перемещение системы относительно –– (см. рис. 1.8). При этом угол поворота системы за время равен .

Примеры решения задач

Задача №1. По шоссе со скоростью движется автобус. Человек находится на расстоянии от шоссе и от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказаться в некоторой точке шоссе одновременно с автобусом, если он может бежать со скоростью ?

Решение. Автобус и человек совершают поступательные движения, поэтому рассмотрим движения некоторой точки автобуса и человека. Изобразим рисунок для данной задачи. В качестве системы выберем систему, связанную с поверхностью Земли, а систему закрепим с выбранной точкой автобуса. В данной системе отсчета автобус является неподвижным телом, а человек движется со скоростью . Причем, если человек хочет встретиться с автобусом, то его траектория в этой системе отсчета должна быть направлена на автобус, т.е. от точки B к точке А. Поскольку скорость в прямолинейном движении направлена по траектории, то вектор выбранной скорости человека относительно автобуса должен быть направлен от точки B к А.

Изобразим вектор на рисунке. Согласно закону сложения скоростей (1.43) скорость человека и в и системах связаны соотношением:

(1)

Из соотношения (1) следует, что вектор скорости человека относительно земли должен быть направлен так, чтобы сумма векторов скоростей человека относительно автобуса и автобуса относительно Земли , равнялась бы вектору .

Сложим векторы и по правилу треугольника, получим вектор . Обозначим угол между вектором и отрезком АВ через . Выберем систему координат так, как показано на рисунке. Используя основное свойство векторных равенств, запишем равенство для проекций векторов , и на ось OY, получим следующее равенство:

. (2)

Из треугольника АВС находим .

(3)

Заменив в формуле (2) выражением, приведенным в соотношении (3), получим формулу для вычисления угла между направлением вектора скорости человека относительно земли и отрезком АВ:

(4)

Подставим численные значения величин, входящих в формулу (4), получим величину угла :

Ответ: Человек должен бежать под углом 30⁰ к отрезку, соединяющего его начальное положение и начальное положение автобуса.

Задача №2. Два тела брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой скоростью с промежутком времени . Через какое время после начала движения второго тела и на какой высоте встретятся тела?

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось OY была направлена вертикально вверх, начало координат совместим с поверхностью Земли. Координату точки бросания обозначим . Изобразим в системе координат векторы начальной скорости и ускорения свободного падения. Возьмем два секундомера, первый секундомер включим в момент броска первого тела, второй секундомер — в момент броска второго тела. Показания первого секундомера обозначим через , а второго — через . Запишем уравнения движения тел в выбранных системах отсчета времени:

Приведем данные уравнения движения в единую систему отсчета времени. Требуется найти момент встречи по второму секундомеру. Поэтому в уравнение движения первого тела вместо подставим , получим следующие уравнения:

В момент встречи координаты тел совпадают, и, следовательно, приравняв правые части уравнений движения тел, получим уравнение для определения момента встречи:

Решив данное уравнение, находим время встречи:

Зная время встречи, из уравнения движения второго тела находим координату встречи:

Это значит, что координата точки встречи тел расположена на высоте 19,3 м выше точки бросания тел.

Ответ: , .

Задача №3. Радиус–вектор движущейся частицы изменяется со временем по закону: , где единичные векторы декартовой системы координат. Найти: а) вектор скорости и вектор ускорения частицы; б) модуль скорости в момент времени ; в) модуль вектора перемещения за время , г) уравнение траектории частицы в декартовой системе координат; д) величину тангенциального ускорения в момент времени е) приближенное значение длины пути , пройденного частицей за 11–ю секунду движения.

Решение. а) В данной задаче движение частицы описывается векторным уравнением. Найдем вектор скорости как производную от радиус–вектора движущейся частицы по времени (см. 1.4):

. (1)

Из данного соотношения видно, что проекция вектора скорости на ось OZ равна нулю , следовательно, частица движется в плоскости XOY.

Вектор ускорения находим дифференцированием выражения для вектора скорости по времени:

. (2)

Из данного соотношение видно, вектор ускорения имеет ненулевую проекцию только по оси OX, и, кроме того, эта проекция не зависит от времени. Делаем вывод о том, что частица движется с постоянным ускорением, направленным по оси OX.

б) В нашей задаче проекции вектора скорости на оси координат равны (см. 1): . Для определения модуля вектора скорости в момент времени используем соотношение (1.12):

. (3)

При величина скорости равна .

в) Для вектора перемещения справедлива формула:

, (4)

где соответственно радиус–векторы в момент времени и в начальный момент времени.

При вектор перемещения равен

. (5)

Находим вектор перемещения :

. (6)

При вектор перемещения равен

. (7)

Модуль вектора перемещения находим по формуле:

. (8)

г) Из уравнения движения находим зависимости координат частицы от времени:

. (9)

Эти соотношения определяют траекторию, заданную в параметрическом виде. Выразив время из второго равенства, и, подставив в первое равенство, получим уравнение траектории в явном виде:

. (10)

Очевидно, что траекторией частицы является парабола, лежащая в плоскости параллельной плоскости XOY и пересекающей ось OZ в точке с координатой .

д) В начале определим угол между вектором скорости и вектором полного ускорения частицы по формуле (см. приложение):

. (11)

Для тангенциального ускорения имеем равенство:

. (12)

C учетом того, что и , равенство (12) примет вид

. (13)

При величина тангенциального ускорения равна:

. (14)

е) Приближенное значение пути, пройденного частицей за 11–ю секунду можно найти как длину отрезка между точками, в которых она находим в моменты времени и . Обозначим через координаты точки при , а координаты точки при , тогда для пройденного пути имеем приближенное равенство:

. (15)

Из уравнения движения находим координаты ( ), ( ), и, подставив их в соотношение (15), будем иметь:

. (16)

Заметим, что точное значение пройденного пути для плоской траектории частицы можно найти из известной математической формулы:

, (17)

где абсцисса конечной и начальной точки соответственно, производная, вычисляемая из уравнения траектории.

Ответ: а) , ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Задача №4. Тело, брошено с балкона вертикально вверх со скоростью . Высота балкона над поверхностью земли . Написать уравнение движения и определить среднюю путевую скорость движения тела с момента бросания до момента падения на землю.

Решение. Пренебрегаем размерами тела, т.е. его движение рассматриваем как движение точки. Для решения задачи возьмем ось OY и направим ее перпендикулярно поверхности земли, начало отсчета (точка О) выберем на ее поверхности. Запишем общую зависимость для координат от времени:

. (1)

Из рисунка определяем начальные параметры

. (2)

С учетом начальных условий (2) уравнение движения для данной задачи примет вид

. (3)

Определим максимальную координату при движении тела вверх по оси OY, для этого найдем производную от правой части соотношения (3), и, приравняв полученное соотношение к нулю, получим следующее уравнение:

. (4)

Из уравнения (4), находим момент времени, когда тело достигает максимальной высоты подъема. Затем определяем максимальную координату

. (5)

Найдем время полета тела , для этого используем тот факт, что в момент приземления координата точки равна нулю:

. (6)

Решим полученное квадратное уравнение (6), получим следующие корни:

. (7)

Второй корень не удовлетворяет условию задачи, потому что его величина отрицательная ( ). Имеем время полеты тела:

. (8)

Согласно определению величина средней путевой скорости равна:

, (9)

где путь, пройденный телом за все время полета, путь, пройденный до верхней точки траектории, путь, пройденный после верхней точки траектории до падения на землю.

Из рисунка видно, что для величин и выполняются следующие равенства:

. (10)

С учетом равенств (8) и (10) равенство (9) примет следующий вид:

. (11)

Найдем величину средней путевой скорости, для чего в равенство (11) подставляем численные значения величин

.

Ответ: , .

Задача №5. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Определить: а) величину скорости; б) нормальное ускорение; в) тангенциальное ускорение; г) радиус кривизны траектории через после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. В данной задаче пренебрегаем размерами тела. Рассматриваем его движение как движение точки с постоянным ускорением, равным . Записываем зависимости проекций вектора скорости от времени на оси декартовой системы координат

. (1)

Из рисунка видно, что

(2)

С учетом полученных соотношений (2) равенства (1) примут вид

(3)

Величина вектора скорости связана с проекциями соотношением

(4)

Из соотношений (3) вместо проекций и подставляем в равенство (4), имеем следующее соотношение:

. (5)

Из формулы (5) находим величину вектора скорости при :

.

Из рисунка видно, что величины нормального ускорения и ускорения свободного падения связаны соотношением

, (6)

где .

Находим величину нормального ускорения в момент времени

.

Тангенциальное ускорение при вычислим по формуле

.

Радиус кривизны траектории в момент времени связан с величинами скорости и нормального ускорения соотношением:

.

Откуда .

Ответ: , , , .

Задача №6. Из миномета ведут обстрел объекта, расположенного выше по склону на расстоянии . Угол наклона горы . Мины вылетают из миномета под углом . Определить начальную скорость мин и наибольшее удаление мин от поверхности горы.

Решение. Для определения начальной скорости мины удобно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси лежали в плоскости траектории полета мин. Ось ОХ₁ направим горизонтально, а ось OY₁ вертикально вверх. Начало координат совмести с точкой, откуда производят выстрел. Определим начальные координаты мины, проекции ее начальной скорости и вектора ускорения на оси координат:

Запишем уравнения движения мины в данной системе координат:

Определим координаты точки приземления мины:

Подставим координаты точки приземления в уравнения движения, получим систему уравнений, позволяющую определить начальную скорость мины:

Из первого уравнения находим время и подставляем во второе уравнение, получим уравнение для определения начальной скорости:

.

Решив данное уравнение, получим формулу для вычисления начальной скорости полета мин:

.

Подставляя численные значения величин, входящих в последнюю формулу, получим величину начальной скорости мин.

Выберем новую систему координат, так как в системе координат X₁OY₁ определение максимального удаления сопряжено с огромными трудностями. Предоставляем проверить данный факт читателю самостоятельно. Возьмем систему координат XOY (см. рис.), оси координат которой расположим в плоскости траектории полета мины, а начало координат совместим с точкой старта. Ось ОХ направим вдоль склона горы, а ось OY — перпендикулярно оси ОХ. Определим начальные координаты мины, проекции ее начальной скорости и вектора ускорения на оси координат.

Запишем уравнения движения мины и зависимость проекции ее скорости на ось OY в данной системе координат:

В момент максимального удаления мины от поверхности горы, ее скорость обязательно должна быть направлена параллельно поверхности горы (см. рис.). В противном случае, мы будет иметь ненулевую проекцию вектора скорости мины на ось OY, т.е. мина будет либо удаляться от поверхности горы, либо приближаться к поверхности. Поэтому в момент максимального удаления мины от поверхности горы проекция вектора скорости на ось OY будет равна нулю, т.е. . Подставив данное значение проекции вектора скорости в последнее соотношение, получим значение времени, когда мина находится на максимальном удалении от поверхности горы:

Поставив полученное значение времени в уравнение движения мины по оси OY, получим ее координату y в этот момент. Это значение координаты будет являться максимальным расстоянием от мины до поверхности горы:

Подставив численные значения величин, входящих в последнюю формулу, получим величину наибольшего удаления мины от поверхности горы:

Ответ: , .

Задача №7. Движения точки по окружности радиуса задано уравнением , где дуговая координата, , , . Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени .

Решение. В данной задаче движение точки описывается «естественным» способом. Зная зависимость дуговой координаты , найдем выражение для скорости как производную от этой координаты по времени:

(1).

При имеем .

В данном способе описания движения скорость является алгебраической величиной. Отрицательный ее знак указывает на то, что вектор скорости в данный момент направлен против орта . Вектор направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты .

Тангенциальное ускорение найдем, взяв производную от скорости по времени:

.

Очевидно, что вектор тангенциального ускорения направлен в туже сторону, что и вектор скорости, а именно против орта .

Нормальное ускорение точки связано со скоростью движения точки и радиусом окружности соотношение . Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса окружности и произведем вычисления:

.

Полное ускорение является геометрической суммой векторов и : . Модуль ускорения равен . Подставив в это выражение найденные значения и , получим величину полного ускорения точки:

.

Ответ: , , , .

Задача№8. Диск радиусом вращается согласно уравнению , где , , . Определить угловую скорость, угловое, тангенциальное, нормальное и полное ускорение точки, находящейся на краю диска, в конце двадцатой секунды его вращения. Изобразить на рисунке векторы угловой скорости и углового ускорения.

Решение. Находим проекции векторов угловой скорости и углового ускорения из следующих соотношений:

.

Из последнего соотношения видно, что проекция углового ускорения не зависит от времени, следовательно, это движение с постоянным угловым ускорением. Из первого соотношения находим величину проекции угловой скорости через 20 с движения. .

Для построения векторов угла поворота, угловой скорости и углового ускорения выбираем ось OZ, используем при этом правило «буравчика». Учитывая знаки проекций векторов и , изображаем их на рисунке. Поскольку направление векторов и противоположное, делаем вывод о том, что движение точки является равнозамедленным.

Из соотношений (1.35–1.36) находим нормальное, тангенциальное и полное ускорения:

;

;

.

Ответ: ; ; ; ; /

Задача №9*. Частица движется в плоскости с постоянным ускорением , направление которого совпадает с положительным направлением оси . Уравнение траектории имеет вид , где и положительные коэффициенты. Найти скорость частицы в начале координат.

Решение. Траекторией частицы является участок параболы, изобразим ее в декартовой системе координат. Покажем на этом рисунке вектор скорости и вектор ускорения частицы в начале координат. Находим дифференциал от обеих частей уравнения движения частицы

,(1)

где соответственно дифференциалы координат и .

Выразим через проекции вектора скорости на оси координат:

, (2)

где дифференциал времени.

С учетом соотношений (2) равенство (1) примет вид

.(3)

Разделим обе части соотношения (3) на , получим следующую формулу:

.(4)

В начале координат, т.е. при , формула (4) имеет вид

.(5)

Дифференцируем обе части равенства (4) по времени

.(6)

С учетом того, что и , где проекции вектора ускорения на оси координат, равенство (6) примет вид:

. (8)

По условию задачи вектор ускорения частицы направлен по оси , поэтому . С учетом этого, а также при , последнее равенство упрощается

.(9)

Из последнего соотношения находим проекцию вектора скорости на ось в начале координат

.(10)

Учитывая последнее соотношение, из равенства (5) находим проекцию вектора скорости на ось в начале координат:

.(11)

Длина вектора находится через его проекции на оси координат по формуле . Зная проекции вектора скорости на оси (см. (10), (11)), находим величину вектора скорости в начале координат:

.

Ответ: .

Задача №10*. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , где – постоянный вектор, – угол поворота тела из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла , если при , она было равна .

Решение. Возьмем прямоугольную декартову систему координат, ось OZ которой совместим с осью вращения. Спроектировав заданное равенство на ось OZ, будем иметь следующее соотношение:

.

Из соотношения (1.28) вместо подставим в предыдущее равенство, получим:

.

При умножении обеих частей данного равенства на бесконечно малую величину угла поворота , получается соотношение:

.

Проинтегрировав обе части равенства, получим требуемую зависимость:

.

Ответ: .

[1] Дуговая координата это пройденный путь точки

[2] Относительное движение инерциальных систем всегда прямолинейное и равномерное

[3] Материал для дополнительного изучения

[4] Материал для дополнительного изучения

*Задача повышенной сложности

*Задача повышенной сложности

Поиск по сайту: