Положение движущейся материальной точки определяется векторным уравнением:
, (1.1)
где радиус вектор движущейся точки (см. рис.1.1).
Вектор перемещения соединяет начальное и конечное положение движущейся точки, и направлен от начального положения к конечному положению:
. (1.2)
Для характеристики быстроты движения вводится понятие средней и мгновенной скорости. Средняя скорость – отношение перемещения точки ко времени:
. (1.3)
Так как , то вектор средней скорости всегда направлен по перемещению,т.е. .Можно также ввести понятие средней путевой скорости движения. Средней путевой скоростью движения точки называется отношение пройденного пути к интервалу времени движения точки. Так как пройденный путь величина скалярная, то и средняя путевая скорость является скалярной величиной.
Предельное значение, к которому стремится вектор средней скорости при стремлении интервала времени к нулю, называется мгновенной скоростью. Обозначение мгновенной скорости:
(1.4)
Такие пределы в математике получили название производной, т.е. мгновенная скорость - это производная от перемещения по времени. Мгновенная скорость характеризует скорость тела в данной точке в данный момент времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории движения.
Для характеристики быстроты изменения скорости вводят понятие ускорения движения. Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло, т.е.:
(1.5)
Так как , то вектор среднего ускорения всегда направлен по вектору изменения мгновенной скорости,т.е. (см. рис. 1.2). Предельное значение, к которому стремится вектор среднего ускорения при условии, что интервал времени стремится к нулю, называется мгновенным ускорением.
Мгновенное ускорение — это производная от вектора скорости по времени. Мгновенное ускорение показывает, как быстро изменяется вектор скорости движущейся точки. Обозначение мгновенного ускорения:
(1.6)
Примеры векторных уравнений движения материальной точки
Равномерное прямолинейное движение ( ):
. (1.7)
Движение с постоянным ускорением ( ):
. (1.8)
Зависимость скорости от времени при движении точки с постоянным ускорением имеет вид:
. (1.9)
Координатный способ описания движения
Для описания движения выбирают систему координат (например декартову). Начало отсчета жестко закрепляют с выбранным телом (телом отсчета). Пусть единичные орты, направленные по осям OX, OY и OZ соответственно. Положение точки задается координатами .
Уравнениями движения в этой системе координат служат зависимости координат от времени:
. (1.10)
Вектор мгновенной скорости определяется следующим образом:
, (1.11)
где проекции вектора скорости на оси координат, а производные от координат по времени.
Величина вектора скорости связана с его проекциями соотношением:
. (1.12)
Для вектора мгновенного ускорения справедливо соотношение:
, (1.13)
где проекции вектора ускорения на оси координат, а производные от проекций вектора скорости по времени.
Величина вектора мгновенного ускорения находится из формулы:
. (1.14)
Примеры уравнений движения точки в декартовой системе координат