Нехай — деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб’ємо [a; b] на n частин точками так що
Обчислимо де
Складемо інтегральну суму .
Позначимо .
Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на проміжку [a; b] і позначається:
, (7.8)
де — знак визначеного інтеграла;
а, b — нижня та верхня межі інтегрування;
f(x) — підінтегральна функція;
f(x) dx — підінтегральний вираз;
dx — диференціал змінної інтегрування.
За означенням, визначений інтеграл — число, яке залежить від типу функції та проміжку [a; b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування:
Означення. Функція, для якої на [a; b] існує визначений інтеграл називається інтегровною на цьому проміжку.
Далі буде показано, що неперервні функції — інтегровні.
Геометричний зміст визначеного інтеграла
Якщо , то дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 7.4).
Властивості визначеного інтеграла
І. Якщо , то
ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто
ІІІ. Якщо та інтегровні на [a; b], то
IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто
V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю
VI. Якщо — інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [a; c], [с; b], то
VII. Якщо і інтегровна для то
VIII. Якщо , — інтегровні та для то
IX. Якщо f(x) — інтегровна та для то
Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.
Х. Теорема 7 (про середнє).
Якщо функція — неперервна для то знайдеться така точка що:
(7.9)
Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b – a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 7.6).
Рис. 7.6.
Поняття визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона—Лейбніца
Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.
(рис. 7.7)
Рис. 7.7
Теорема 8. Якщо функція f(x) неперервна для будь-якого то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто
(7.10)
Наслідки:
1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції є одна із первісних для .
2. Будь-яка неперервна функція на проміжку має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто
Приклад. Знайти .
l Функція — неперервна на проміжку тому
Теорема 9. (Ньютона—Лейбніца). Якщо функція — неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто
де (7.11)
Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:
(7.12)
Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.
Приклад.
Метод підстановки у визначеному інтегралі
Теорема 10. Якщо: 1) — неперервна для ; 2) 3) та — неперервні для 4) при то
(7.13)
Зауваження.При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування, і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.