Б) Затухающие колебания

Свободные колебания в контуре

Чтобы возбудить свободные колебания в LC-контуре, сначала надо зарядить конденсатор: ключ в положении 1 соединяет его с источником напряжения. Затем переводим ключ в положение 2: пластины конденсатора замыкаются через катушку. Начинает течь ток, разряжающий конденсатор (рис. 1). Сначала ЭДС самоиндукции в катушке препятствует нарастанию тока, но когда конденсатор разрядился, ЭДС самоиндукции не позволяет току сразу исчезнуть, и он течет в прежнем направлении, перезаряжая конденсатор (рис. 2). Когда перезарядка завершена (рис. 3), ток обратного направления снова разряжает, а затем перезаряжает конденсатор. В итоге контур возвращается в начальное состояние (рис. 4). Колебания будут продолжаться сколь угодно долго, если потери энергии на активном сопротивлении катушки пренебрежимо малы. Такие колебания называют собственными. Если же потери энергии есть, колебания будут затухающими.

Получим уравнение свободных колебаний. Сумма напряжения U_С на конденсаторе и на активном сопротивлении катушки равна действующей в контуре ЭДС самоиндукции:

(1).

Выразим все входящие в это уравнение величины через заряд q конденсатора и его производные. Сила тока , , . Подставляем в (1) и получаем:

.

Запишем это уравнение в виде (производные по времени обозначим точками):

, (2)

где , .

Уравнение (2) описывает свободные колебания в LC-контуре.

С точно таким же уравнением мы встречались при описании механических колебаний.

Сначала решим его для случая (тогда и ).

А) Собственные колебанияописываются уравнением .

Его решение – гармонические колебания с частотой , которая называется собственной частотой контура. Амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями. Период собственных колебаний (формула Томсона).

Сила тока в контуре меняется по закону . Амплитуда силы тока .

При колебаниях происходят превращения энергии из электрической (запасенной, в основном, в электрическом поле конденсатора) в магнитную (запасенную, в основном, в магнитном поле катушки). Полная энергия

.

Дважды за период энергия целиком сосредоточена в электрической форме ( ) и дважды – в магнитной ( ).

Б) Затухающие колебания.

Решение уравнения (2) при - это затухающие колебания

.

Частота затухающих колебаний немного меньше собственной частоты :

.

Величины и определяются начальными условиями.

Функцию называют амплитудой затухающих колебаний.

Демонстрации. 1. В колебательный контур низкой частоты включен гальванометр. После возбуждения колебаний в контуре стрелка гальванометра колеблется, быстро затухая.

2. Осциллограмма затухающих колебаний. Увеличивая С, уменьшаем частоту. Увеличивая R, увеличиваем затухание.

При колебания не возникают. Критическое значение активного сопротивления, при котором исчезают колебания, находим из условия : , или .

Для характеристики затухания, помимо коэффициента затухания , используют также следующие величины:

· Время релаксации - это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз.

· Логарифмический декремент затухания равен логарифму отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебаний: .

Поиск по сайту: