Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Распространение света внутри анизотропных сред



Оптической анизотропией называется зависимость оптических свойств среды от направления, которая объясняется тем, что в разных направлениях электрические и магнитные характеристики среды отличаются друг от друга. Будем считать среду немагнитной, поскольку к таким относится большинство оптических материалов, т.е. будем учитывать лишь диэлектрическую анизотропию, (исключение составляют лишь прозрачные ферриты).

Электромагнитные свойства диэлектрических сред описываются лишь ε и μ – диэлектрической и магнитной проницаемостью и фигурируют в двух уравнениях Максвелла, называемых материальными. В случае изотропной среды они выглядят следующим образом

, (1)

где и скаляры. Так как оптические материалы немагнитны, то , а - показатель преломления. В этом случае || и || .

Появление анизотропии означает, что в немагнитных средах не параллельна , но || . Из этого следует, что связь между и будет выглядеть следующим образом

, (2)

где - так называемый тензор. Этот объект является оператором, ставящий в соответствие одному вектору другой и имеет вид матрицы

.   (3)

Уравнение (2) теперь можно переписать в компонентах

,   (4)

где для удобства заменена индексация , и тогда тензор можно записать как .Тензор называется тензором диэлектрической проницаемости. Доказывается, что он симметричен, т.е. . Это очень важное свойство, оно используется в кристаллофизике.

Рассмотрим распространение плоских волн в таких средах. Из предыдущего известно, что для векторов - напряженностей электрического и магнитных полей и -соответствующих им индукций, выражения для плоских волн имеют вид

(а); (б); (в); (г), (5)

где - вектор текущих координат, - волновой вектор, v – фазовая скорость, - показатель преломления, с – скорость света в вакууме.

Подставляя эти выражения в уравнения Максвелла и учитывая, что , т.е. , получим из первых двух уравнений

(а); (6)

из вторых

(а); . (7)


Из уравнений (7) следует, что вектор направления распространения волновой поверхности и, соответственно, вектор фазовой скорости перпендикулярны векторам напряженности магнитного поля и вектору электрической индукции .Направление же распространения энергии определяется вектором Пойнтинга , которое совпадает с направлением групповой скорости и перпендикулярно, соответственно, векторам и (рис 1). Поскольку не параллельно , то направление групповой скорости не совпадает с направлением фазовой (рис 1).

Исключая из уравнений (6а) и (6б )напряженность , запишем

. (8)

Воспользовавшись (8) , выражением для и формулой векторной алгебры для двойного векторного произведения получим уравнение для амплитуды напряженности электрического поля

. (9)

Если выбрать систему координат так, что направление распространения волны будет совпадать с осью , т.е. , то выражение (9) значительно упростится, и в координатах будет выглядеть следующим образом

.   (10)

Решение получившейся системы относительно сводится к задаче на собственные значения:

1) решение будем нетривиальным ( ) если детерминант этой системы не равен нулю – т.е. является собственным значением;

2) каждому собственному значение будет соответствовать собственный вектор, которые к тому же будут перпендикулярны, что следует из симметрии тензора (на этот счет имеются соответственные теоремы).

Равенство нулю детерминанта сводится к квадратному уравнению относительно

,   (11)

Откуда следует, что в общем случае в анизотропной среде в заданном направлении могут распространяться две волны с разными скоростями , , соответствующим двум показателям преломления – решения уравнения (10)

; ,   (12)

а направления поляризации этих волн взаимно перпендикулярны.

Известно, что соответствующим выбором осей координат, тензор можно привести к диагональному виду

, (13)

Уравнение (4) можно переписать как

.   (14)

Так как , то не параллелен . Оси, в которых тензор имеет диагональный вид, называются главными осями тензора.

Из тензорной алгебры известно, что каждому тензору соответствует так называемый характеристический эллипсоид, выражение для которого будет выглядеть следующим образом

. (15)

Это уравнение поверхности эллипсоида, который поворотом системы координат может быть приведен к каноническому виду (в выражении (15) тогда будут отсутствовать перекрестные члены, т.е. выражение в скобках будет равно нулю). В этой же новой системе координат тензор диэлектрической проницаемости примет т.н. диагональную форму - все недиагональные элементы тензора будут равны нулю:

. (16)

Оси такой системы координат называются главными осями тензора - в данном случае главными осями тензора диэлектрической проницаемости. При таком выборе системы координат соотношение (15) записываются особенно просто и, что очень важно, можно определить три показателя преломления соотношениями (17)

(17)

и с помощью их образовать эллипсоид

,   (18)

который называется оптическая индикатриса. Очевидно, что главные оси так определенного эллипсоида совпадают с главными осями тензора диэлектрической проницаемости и называются главными осями оптической индикатрисы.

Оптическая индикатриса и соответствующие им среды могут быть трех типов:

1. - Оптическая индикатриса - сфера, среда изотропная, любое направление является осью симметрии.

2. - Оптическая индикатриса - эллипсоид вращения, среда анизотропная, имеется лишь одна ось симметрии.

3. - Оптическая индикатриса - эллипс общего вида, среда анизотропная, из теории поверхностей второго порядка известно, что у такого эллипсоида имеется две оси симметрии, т.е. можно показать, что у такого эллипсоида два круговых сечения.

Распространение световой волны вдоль оси симметрии не отличается от распространения в изотропной среде. Такое особое направление называется главной осью среды, а среда (или кристалл) называется соответственно одноосной (случай 2) или двухосной (случай 3).

Параметры световой волны, распространяющейся в такой среде, зависят от ее ориентации - направления распространения и направления поляризации относительно главных осей среды и могут быть определены с помощью оптической индикатрисы. Зная величины полуосей оптической индикатрисы, ее форму и ориентацию в среде, можно определить скорости, показатели преломления и плоскости колебаний (поляризации) для волн, распространяющихся в среде в любом направлении. На рис. 2 изображен вырезанный из одноосного, для простоты, кристалла образец, имеющий прямоугольную форму. Главная ось в нем занимает произвольное направления и в рассматриваемом случае совпадает с . В соответствии с этим направлением поострена оптическая индикатриса - эллипс с полуосями , и , причем , т.е. уравнение эллипса в системе координат с осями , называемой кристаллофизической системой координат.

,   (19)

где в соответствии с (9).

Направление световой волны совпадает с направлением , т.е. с нормалью к волновому фронту. Следует отметить, что в анизотропных средах направление световой волны не совпадает с направлением распространения энергии и эти направления необходимо различать. В изотропных средах это различие отсутствует.

Если построить центральное сечение эллипсоида оптической индикатрисы перпендикулярно (это сечение эллипса поверхностью волнового фронта), то направления полуосей и будут определять соответственно направления колебаний векторов колебаний и этих волн. Длины полуосей равны показателям преломления для волн, у которых колебания происходят в плоскостях, содержащих и , т.е. и . Таким образом, как уже говорилось, плоская электромагнитная волна с произвольным направлением вектора может быть представлена совокупностью двух волн с разными направлениями колебаний векторов и и разными скоростями распространения, поскольку эта скорость зависит от показателя преломления. Направление вдоль оси симметрии эллипсоида называется главной осью кристалла, и сечение перпендикулярное ей является окружностью, т.е. показатели преломлений для направлений будут одинаковы и для луча, распространяющегося вдоль главной оси, среда будет изотропна. Очевидно, что разность между показателем преломления вдоль этого направления и перпендикулярным ему будет максимальной. Разность называется двойным лучепреломлением, а показатели преломлений и , и лучи, имеющие поляризации соответствующие им называются соответственно обыкновенным и необыкновенным.

Заметим, что если длины полуосей эллипса одинаковы, то при любом направлении распространения , среда изотропна и луч в ней будет только обыкновенным.

Анизотропия кристаллов обусловлена строением его решетки. Атомы и молекулы, из которых он построен, расположены в определенном порядке, но этот порядок неодинаков для всех направлений. Например, расстояние между атомами, строго одинаковые вдоль какой-то оси, могут быть другими вдоль других осей.

Явление двойного лучепреломления, было экспериментально обнаружено при освещении кристалла (исландский шпат) при освещении его узким пучком света. Опыт показал, что в этом случае в нем возникли два луча – обыкновенный и необыкновенный. Для необыкновенного луча показатель преломления зависит от направления луча в кристалле, а - показатель преломления обыкновенного луча остается постоянным при любом угле падения световой волны на кристалл. Например, если освещать светом с длиной волны мм, то , а . Следовательно - такие кристаллы называются отрицательными, если - то положительными.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.