Распространение света внутри анизотропных сред

Оптической анизотропией называется зависимость оптических свойств среды от направления, которая объясняется тем, что в разных направлениях электрические и магнитные характеристики среды отличаются друг от друга. Будем считать среду немагнитной, поскольку к таким относится большинство оптических материалов, т.е. будем учитывать лишь диэлектрическую анизотропию, (исключение составляют лишь прозрачные ферриты).

Электромагнитные свойства диэлектрических сред описываются лишь ε и μ – диэлектрической и магнитной проницаемостью и фигурируют в двух уравнениях Максвелла, называемых материальными. В случае изотропной среды они выглядят следующим образом

,

(1)

где и скаляры. Так как оптические материалы немагнитны, то , а - показатель преломления. В этом случае || и || .

Появление анизотропии означает, что в немагнитных средах не параллельна , но || . Из этого следует, что связь между и будет выглядеть следующим образом

,

(2)

где - так называемый тензор. Этот объект является оператором, ставящий в соответствие одному вектору другой и имеет вид матрицы

.

(3)

Уравнение (2) теперь можно переписать в компонентах

,

(4)

где для удобства заменена индексация , и тогда тензор можно записать как .Тензор называется тензором диэлектрической проницаемости. Доказывается, что он симметричен, т.е. . Это очень важное свойство, оно используется в кристаллофизике.

Рассмотрим распространение плоских волн в таких средах. Из предыдущего известно, что для векторов - напряженностей электрического и магнитных полей и -соответствующих им индукций, выражения для плоских волн имеют вид

(а); (б); (в); (г),

(5)

где - вектор текущих координат, - волновой вектор, v – фазовая скорость, - показатель преломления, с – скорость света в вакууме.

Подставляя эти выражения в уравнения Максвелла и учитывая, что , т.е. , получим из первых двух уравнений

(а);

(6)

из вторых

(а); .

(7)

Из уравнений (7) следует, что вектор направления распространения волновой поверхности и, соответственно, вектор фазовой скорости перпендикулярны векторам напряженности магнитного поля и вектору электрической индукции .Направление же распространения энергии определяется вектором Пойнтинга , которое совпадает с направлением групповой скорости и перпендикулярно, соответственно, векторам и (рис 1). Поскольку не параллельно , то направление групповой скорости не совпадает с направлением фазовой (рис 1).

Исключая из уравнений (6а) и (6б )напряженность , запишем

.

(8)

Воспользовавшись (8) , выражением для и формулой векторной алгебры для двойного векторного произведения получим уравнение для амплитуды напряженности электрического поля

.

(9)

Если выбрать систему координат так, что направление распространения волны будет совпадать с осью , т.е. , то выражение (9) значительно упростится, и в координатах будет выглядеть следующим образом

.

(10)

Решение получившейся системы относительно сводится к задаче на собственные значения:

1) решение будем нетривиальным ( ) если детерминант этой системы не равен нулю – т.е. является собственным значением;

2) каждому собственному значение будет соответствовать собственный вектор, которые к тому же будут перпендикулярны, что следует из симметрии тензора (на этот счет имеются соответственные теоремы).

Равенство нулю детерминанта сводится к квадратному уравнению относительно

,

(11)

Откуда следует, что в общем случае в анизотропной среде в заданном направлении могут распространяться две волны с разными скоростями , , соответствующим двум показателям преломления – решения уравнения (10)

; ,

(12)

а направления поляризации этих волн взаимно перпендикулярны.

Известно, что соответствующим выбором осей координат, тензор можно привести к диагональному виду

,

(13)

Уравнение (4) можно переписать как

.

(14)

Так как , то не параллелен . Оси, в которых тензор имеет диагональный вид, называются главными осями тензора.

Из тензорной алгебры известно, что каждому тензору соответствует так называемый характеристический эллипсоид, выражение для которого будет выглядеть следующим образом

.

(15)

Это уравнение поверхности эллипсоида, который поворотом системы координат может быть приведен к каноническому виду (в выражении (15) тогда будут отсутствовать перекрестные члены, т.е. выражение в скобках будет равно нулю). В этой же новой системе координат тензор диэлектрической проницаемости примет т.н. диагональную форму - все недиагональные элементы тензора будут равны нулю:

.

(16)

Оси такой системы координат называются главными осями тензора - в данном случае главными осями тензора диэлектрической проницаемости. При таком выборе системы координат соотношение (15) записываются особенно просто и, что очень важно, можно определить три показателя преломления соотношениями (17)

(17)

и с помощью их образовать эллипсоид

,

(18)

который называется оптическая индикатриса. Очевидно, что главные оси так определенного эллипсоида совпадают с главными осями тензора диэлектрической проницаемости и называются главными осями оптической индикатрисы.

Оптическая индикатриса и соответствующие им среды могут быть трех типов:

1. - Оптическая индикатриса - сфера, среда изотропная, любое направление является осью симметрии.

2. - Оптическая индикатриса - эллипсоид вращения, среда анизотропная, имеется лишь одна ось симметрии.

3. - Оптическая индикатриса - эллипс общего вида, среда анизотропная, из теории поверхностей второго порядка известно, что у такого эллипсоида имеется две оси симметрии, т.е. можно показать, что у такого эллипсоида два круговых сечения.

Распространение световой волны вдоль оси симметрии не отличается от распространения в изотропной среде. Такое особое направление называется главной осью среды, а среда (или кристалл) называется соответственно одноосной (случай 2) или двухосной (случай 3).

Параметры световой волны, распространяющейся в такой среде, зависят от ее ориентации - направления распространения и направления поляризации относительно главных осей среды и могут быть определены с помощью оптической индикатрисы. Зная величины полуосей оптической индикатрисы, ее форму и ориентацию в среде, можно определить скорости, показатели преломления и плоскости колебаний (поляризации) для волн, распространяющихся в среде в любом направлении. На рис. 2 изображен вырезанный из одноосного, для простоты, кристалла образец, имеющий прямоугольную форму. Главная ось в нем занимает произвольное направления и в рассматриваемом случае совпадает с . В соответствии с этим направлением поострена оптическая индикатриса - эллипс с полуосями , и , причем , т.е. уравнение эллипса в системе координат с осями , называемой кристаллофизической системой координат.

,

(19)

где в соответствии с (9).

Направление световой волны совпадает с направлением , т.е. с нормалью к волновому фронту. Следует отметить, что в анизотропных средах направление световой волны не совпадает с направлением распространения энергии и эти направления необходимо различать. В изотропных средах это различие отсутствует.

Если построить центральное сечение эллипсоида оптической индикатрисы перпендикулярно (это сечение эллипса поверхностью волнового фронта), то направления полуосей и будут определять соответственно направления колебаний векторов колебаний и этих волн. Длины полуосей равны показателям преломления для волн, у которых колебания происходят в плоскостях, содержащих и , т.е. и . Таким образом, как уже говорилось, плоская электромагнитная волна с произвольным направлением вектора может быть представлена совокупностью двух волн с разными направлениями колебаний векторов и и разными скоростями распространения, поскольку эта скорость зависит от показателя преломления. Направление вдоль оси симметрии эллипсоида называется главной осью кристалла, и сечение перпендикулярное ей является окружностью, т.е. показатели преломлений для направлений будут одинаковы и для луча, распространяющегося вдоль главной оси, среда будет изотропна. Очевидно, что разность между показателем преломления вдоль этого направления и перпендикулярным ему будет максимальной. Разность называется двойным лучепреломлением, а показатели преломлений и , и лучи, имеющие поляризации соответствующие им называются соответственно обыкновенным и необыкновенным.

Заметим, что если длины полуосей эллипса одинаковы, то при любом направлении распространения , среда изотропна и луч в ней будет только обыкновенным.

Анизотропия кристаллов обусловлена строением его решетки. Атомы и молекулы, из которых он построен, расположены в определенном порядке, но этот порядок неодинаков для всех направлений. Например, расстояние между атомами, строго одинаковые вдоль какой-то оси, могут быть другими вдоль других осей.

Явление двойного лучепреломления, было экспериментально обнаружено при освещении кристалла (исландский шпат) при освещении его узким пучком света. Опыт показал, что в этом случае в нем возникли два луча – обыкновенный и необыкновенный. Для необыкновенного луча показатель преломления зависит от направления луча в кристалле, а - показатель преломления обыкновенного луча остается постоянным при любом угле падения световой волны на кристалл. Например, если освещать светом с длиной волны мм, то , а . Следовательно - такие кристаллы называются отрицательными, если - то положительными.

Поиск по сайту: