Гідродинаміка потоку в трубі

Рух крові по судинах з деяким наближенням можна розглядати як рух рідини з певними реологічними властивостями по трубі круглого перерізу. Обмежимося розглядом ламінарного стаціонарного потоку, хоча на деяких ділянках артеріальної системи течія не є ні стаціонарною, ні ламінарною, а пульсуючою. В капілярній системі кровообігу такий підхід взагалі є неприйнятний, оскільки розміри кров'яних клітин є співмірні з діаметром судин.

Рушійна сила течії F_m у достатньо довгому циліндрі радіуса r дорівнює

де DР - перепад тисків.

У стаціонарному потоці ця сила компенсується силою тертя F_mp, яка пропорційна площі бокової поверхні циліндра S6 і градієнту швидкості v'

де , l- довжина труби,

Тоді

У стаціонарному випадку F_m = F_mp. Якщо припустити, що біля поверхні стінок існує безмежно тонкий нерухомий шар рідини, тобто при r=R, v(R)=0і координата у змінюється усередину труби по радіусу, тобто r=R-y, dr=-dy (рис. 10.1), отримаємо

Після заміни змінних та інтегрування останнього співвідношення отримаємо розподіл швидкості рідини по перерізу труби

(10.1)

Отже, швидкість у трубі розподіляється за параболічним законом (рис. 10.1), причому на осі труби r=0вона набуває максимального значення v_max

(10.2)

або, підставляючи (10.2) в (10.1), отримуємо

(10.3)

Середня за площею поперечного перерізу швидкість v_срзнаходиться інтегруванням (10.3) в полярних координатах:

. (10.2)

З урахуванням (10.3) маємо

.

Формула Хагана-Пуазейля зв'язує розхід рідини (об’ємну швидкість) з перепадом тиску. Отримати її можна як добуток середньої швидкості течії на площу перерізу

(10.4)

Об'ємна швидкість рідини в трубі вимірюється в м³/с і є пропорційна четвертому степеню радіуса труби. При збільшенні радіуса труби в 1,2 рази об'ємний розхід рідини збільшиться більш ніж вдвічі при незмінному перепаді тиску.

При протіканні рідини через труби змінного перерізу існує взаємозв'язок між радіусом, швидкістю і тиском (рис. 10.2).

Причому для ньютонівських рідин виконується співвідношення

,

де А - площа перерізу труби.

Крім цього, із закону збереження енергії витікає рівняння Бернуллі (при нехтуванні в'язкістю)

де р₀ - гідростатичний тиск у точці при v = 0.

Для кровоносних судин врахування внутрішнього тиску і його зміни має велике значення, оскільки він призводить до пружної або в'язкопружної деформації стінок e

Нехай на ділянці l під дією тиску рідини Р виникають пружні деформації e, тоді за законом Гука напруження s в стінці труби дорівнюють

де Е – модуль Юнга стінок труби.

Напруження також можна визначити як відношення сили, яка розтягує трубу в радіальному напрямку, до площі поперечного перерізу стінки труби s=l·d, товщина якої дорівнює d

Пронормуємо силу за довжиною труби

тоді

Сила розтягання F₁стінки труби спричиняється тиском Р і залежить від радіуса труби. Визначається вона з рівняння Лапласа

(10.5)

У стаціонарному режимі напруження, спричинені тиском рідини, компенсуються пружними напруженнями

де Ed – жорсткість стінки труби.

Отже, радіальна деформація труби

(10.6)

– пропорційна до внутрішнього тиску і квадрата радіуса труби, але обернено пропорційна до жорсткості стінки труби.

Відносна радіальна деформація, яка визначається напруженням, – пропорційна радіусу труби

(10.6а)

З (10.6) випливає важливий для вивчення кровоносної системи висновок, що при одному і тому ж тискові судини більшого діаметра піддаються більшим деформуючим напруженням у порівнянні з дрібними судинами.

Рух крові в судинах

Гемодинаміка – галузь науки, яка вивчає фізичні особливості протікання крові в судинах. Суттєвий вклад у розвиток гемодинаміки зробив лікар і фізіолог Жан Луі Марі Пуазейль (1799-1869). Сучасна гемодинаміка у зв'язку із швидким розвитком медичної техніки розв'язує задачі, які виникають при конструюванні пристроїв екстракорпорального кровообігу (штучна нирка, апарат "серце-легені", протези судин та клапанів серця тощо). Гемодинамічні дослідження мають велике значення для діагностики і терапії серцево-судинних захворювань.

Основні особливості течії в кровоносній системі:

1) протікання крові в артеріальній системі має пульсуючий характер;

2) судини розтягуються у повздовжньому і радіальному напрямах, вони є непрямолінійними і розгалуженими;

3) протікання крові в крупних судинах має турбулентний характер зі значними вхідними ефектами;

4) в капілярах кров не можна розглядати як однорідну рідину;

5) кров веде себе як псевдопластична тиксотропна рідина, на в'язкість якої також впливає ефект Фареуса-Ліндквіста.

Ці обставини утруднюють гідродинамічні розрахунки протікання крові, тому експериментальні дослідження набирають особливої ваги (прозорі трубки, ультразвукова діагностика, лазерна доплерівська анемометрія тощо). Деякі експериментально отримані гідродинамічні характеристики системи кровообігу людини зведені в табл. 10.1.

Відомі геометричні і гідродинамічні характеристики системи кровообігу дозволяють зіставляти їх, а також здійснювати моделювання процесів, які відбуваються у системі кровообігу, що сприяє глибшому розумінню функціонального призначення окремих елементів, відділів і системи в цілому.

Таблиця 10.1. Деякі експериментально отримані гідродинамічні характеристики системи кровообігу людини

Кров'яний тиск

Рушійною силою, яка змушує кров переміщатись по судинах в напрямку аорта ® артерії ® капіляри ® венули ® крупні вени ® порожнисті вени є відповідний градієнт кров'яного тиску. Усереднені значення артеріального і венозного кров'яного тиску для різного ступеня розширеності судин показані на рис. 10.3.

Максимальний тиск, який досягається у момент викиду крові із серця в аорту, називається систолічним.Після повного виштовхування крові з серця і закриття аортальних клапанів тиск падає до значення, яке відповідає діастолічномутиску.

Різниця між систолічним і діастолічним тисками називається пульсовим тиском(рис. 10.4).

Коливання кров'яного тиску зумовлені пульсуючим характером кровотоку і високою еластичністю та розтягувальною здатністю судин. У людини при віддаленні від аорти змінюється форма і амплітуда пульсової хвилі.

Поиск по сайту: