Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Производные неявно заданных функций



 

Дифференцировать неявные функции можно по тем же правилам, что явные, однако, при этом необходимо договориться, что при этом задании является функцией, а что аргументом. Иначе сама постановка задачи теряет смысл. Возможны два пути решения задачи. Первый – от неявного задания функции перейти к явному, если это возможно. Второй – дифференцировать непосредственно заданную функцию.

Рассмотрим несколько примеров.

1) Видим, что уравнением задана неявная функция, а также, что при этом задании предлагается считать функцией, а аргументом и вычислять производную от функции по аргументу .

1 способ (он здесь возможен). Определяем из уравнения , тогда

.

2 способ. Дифференцируем обе части уравнения по аргументу :

. При раскрытии этого выражения следует учесть, что при дифференцировании по первое слагаемое левой части уравнения является простой функцией, а производную от второго слагаемого следует искать как производную сложной функции с промежуточным аргументом . Итак,

( напомним, что производную от степенной функции следует умножить на производную промежуточного аргумента ).

2) .

В этом случае первый способ дифференцирования неприменим, поскольку решить данное уравнение невозможно ни относительно , ни относительно .

Поскольку с выбором функции (это опять ) определились при постановке задачи, дифференцируем обе части равенства по аргументу :

.

Очевидно,

.

Приведем подобные члены, собрав все слагаемы с в левой части равенства.

.

Определяем отсюда производную

.

 

Примеры для самостоятельного решения

 

Определить .

7.10. , 7.11. , 7.12. ,

 

7.13. , 7.14. , 7.15. .

 

"Логарифмическое" дифференцирование

 

Имеется ввиду дифференцирование функции с предварительным ее логарифмированием. Такой прием используется, когда функция не поддается дифференцированию обычным способом. Рассмотрим функцию . Функция задана в явном виде, но таблицу производных здесь использовать невозможно, поскольку функция не является ни степенной, ни показательной. Предварительное логарифмирование обеих частей уравнения с использованием одного из свойств логарифмов решает проблему, переводя при этом явную функцию в неявную.

. Поскольку заранее известно, что функцией является , дифференцируем обе части полученного уравнения по

,

.

Есть еще один случай, когда удобно использовать "логарифмическое" дифференцирование. Задана функция

.

Непосредственное дифференцирование этой функции возможно, но приводит к очень громоздким вычислениям. Логарифмируем обе части уравнения, используя при этом одно из свойств логарифмов

,

.

Дифференцируем обе части уравнения по :

,

откуда следует

.

Окончательно

.

Замечание. Возможно логарифмирование по любому основанию, однако, формула производной натурального логарифма проще.

 

Докажем с помощью "логарифмического" дифференцирования не доказанную в общем виде формулу из таблицы производных. Дано , логарифмируем , откуда следует .

 

Примеры для самостоятельного решения

 

Вычислить

7.16. , 7.17. , 7.18. ,

 

7.19. ,

7.20. .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.