Пусть теперь страховые суммы могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Иначе говоря, {/(«), О ^ и < оо} — пуассоновский процесс и его распределение задается формулой (2). Тогда %(и) можно представить в виде суммы случайного числа случайных величин:
*(«)= 2 ъ, (53)
где Хи %2> . .., Xt, ... —взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Я (х), а ть т2, .. ., т,-, .. . —моменты наступления событий данного пуас-соновского процесса. Случайные величины {/,■} и {tJнезависимы. Кроме того, разности т(- — тг_[ (/=1,2,...; т0 = 0) являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения F(x)= 1 — е-Л* для х^О. Обозначим а = Е{Х(}.
Положим £(«) = %{и) — си для «^0. Тогда
№(/, х) = Р{ sup £(«)<*} (54)
И
Г(х) = Р{ sup £(«)<*}. (55)
0<и<оо
Для х^О имеем
W (t, x) = e~Kte(x + ct) +
6{t, X, С) X + CU
+ j J W(t-u, x + cu-y)e-tMkdudH(y), (56)
Oo
где e (ж) = 1 при л: ^ 0 и e (x) = 0 при x < 0; ô (/, x, с) = t при с ^ 0 и ô (t, х, с) = min (t — х/с) при с < 0. В самом деле,
PI sup £(иХ*|т! = ы и Xi = «/1 =
IE (X + С^)W(/ — и, х + си — у) о
при u>t,
при u<à(t, х, с), (57)
В' остальных случаях.
Взяв математическое ожидание от (57) по т^ и %иполучим (56). Решив интегральное уравнение (56), найдем W(t, х).
Из уравнения (56) можно вывести интегро-дифференциальное уравнение
dW (t, x) dW (t, x) ,
dt
dx
= С--- ^—- — X
W(t, x)- J W(t, x-y)dH(y)
, (58)
справедливое для почти всех (t, x)(t^0, x^O).
Рассуждая так же, как при выводе уравнения (56), получаем
W
5 (я. с) х+си
(*)= J J" W (x + си - y) е~КиХ du dH(y)
(59)
при x ^ 0, где ô {x, c) = oo при с ^ 0 и ô (x, c)= — x/c при с < 0. Если Xa<c, то №(oo)=l, a W (x) определяется по формуле (59). Если Ха^с, то №(оо) = 0, откуда W(x) = 0 для всех х.
Те же рассуждения, что и при выводе уравнения (58) из (56), дают
cW (x) = X
(60)
W(x)- jW(x-y)dH(y)
— oo
для всех х^О. Проинтегрировав (60) от х до оо, получим
ОО X
c[\-W{x)\ = X | [l-H(u)]du + X J" [l-W(u)]du-
x 0
oo
-X j [l-W(u)]H(x-u)du (61)
для x ^ 0.
Если Ха<с и с^О, то
oo
j e-sxdW(x) = A(s) о
для Re(s)^0, а если Ха<с и с<0, то
-*. oo
je-dW(x) = A(s)(Y^) о
для Re(s)>0, где
Л (s) = exp I - J" e-** dM (x) \
(62)
(63)
(64)
и
Оо оо
М(х)= S Ч\ J e~Kvu"~l[!-#»(* + си)] du, (65)
п=\ О ИЛИ
M(x) = f V{l(ul>K) du (66)
о при х^О.
Формулы (62) и (63) легко доказать с помощью соотношения (23) § 11. Положим £= sup £(и). Если с^О, то
0<и<°о
£ = sup £(тг + 0)= sup (xi+ ... +Хг-стг), (67)
0<r<°o 0<r<°o
а если c<[0, то
£ = sup £(тг-0) = sup (x,+ ... +Xr-i + CTr). (68)
В соответствии с этим, если \т — %г — с(хг — tr-\) для г=1, 2, ..., то для с^О формула (67) дает
где ■ I,, g2, ..., |„ ...—взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины. Если Е {|г} = а — с/Х < 0, то £ — собственная случайная величина, а преобразование Лапласа — Стильтьеса распределения Р {t, ^. х) — W (х) определяется по формуле (23) § 11. Если Е{У = а-сД>0, то Р{| = оо}=1, т.е. W(x) = 0 для всех х.
Если \т= Хг — с(тг+1 — хг) для г=\, 2, ..., то для с^О формула (68) дает
откуда £ = cti + £*, где величина Ç не зависит от Т[ и имеет такое же распределение, что и (69).
Замечание. В заключение приведем небольшой обзор исторического развития математической теории разорения. Асимптотическое распределение процесса разорения (х(и), 0^«<оо) было впервые изучено в 1903 г. Лундбергом [21] и далее исследовалось им же в работах [22—26]. Лундберг заметил, что если Е{%(и)) = ри и Var{x(«)} = 02«, где число а2 конечно и положительно, то
limpiM^L<x}=I h-Mdy. (71)
п-><х> L у а2и ) у 2л •>
Погрешность нормального приближения оценили Крамер [9, 10] и Эссеен [18]. Приближенную формулу для Р (х(«) — р« ^ хи) при х<0 дал Эстер [17], а потом его метод развивали Крамер [11] и Феллер [19].
Функцию разорения Р {0* < оо} = 1 — W (х), определенную соотношением (55), ввел Лундберг [23, 25, 26]. Для случая положительных страховых сумм (Я(0) = 0) Лундберг нашел, что 1 = W(x)^.e~Rxпри ï^O и 1 — W(х)~Ce~Rxпри х->оо, где R и С —положительные константы. В 1926 г. Крамер [9] обнаружил, что при Ха<с и #(0) = 0 функция W(x) удовлетворяет интегральному уравнению типа Вольтерры
х
c[l -W(x)] = Xa-l j W(u)[l-H(x-u)]du (72)
о
для х^О. В 1930 г. Крамер [10] нашел преобразование Фурье функции W(x) (формула Полячека — Хинчина в теории очередей). Для постоянных страховых сумм функция W(x) была найдена в явном виде Феллером (см. также Сегердал [31, стр. 88]). В этом случае ее еще раньше нашел Эрланг (см. [20] в литературе к гл. 5). Для произвольных страховых сумм Сегердал [31 — 33] показал, что l-W(x)^e~*xпри х>0 и 1 - W (х) ~ Се~^хпри х->оо. В 1937 г. Крамер [12] доказал, что в случае произвольных страховых сумм W(x) удовлетворяет интегральному уравнению (61). Решение интегрального уравнения (61) в виде (62) и (63) дали Тэклинд [36] и Крамер [13].
Функцию разорения Р{0л^/}= 1 — W(t, x), определенную формулой (54), изучал первым Саксен [29, 30]. В случае отрицательных страховых сумм Саксен [29] вывел интегро-дифференциальное уравнение (58), а для отрицательных и постоянных сумм он нашел решение (48). В 1950 г. Арфведсон [2] получил интегро-дифференциальное уравнение (58) и нашел явное выражение для W(t, x) в случае, когда страховые суммы являются положительными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (33)), а также в случае, когда страховые суммы являются отрицательными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (51)); см. также Арфведсон [3]. Для положительных и постоянных страховых сумм функцию W(t, x) нашли Саксен [30] и Арфведсон [4] при / = т/с и x = n (m, n — неотрицательные целые числа). Арфведсон [4] нашел также W(m/c, n) для отрицательных и постоянных страховых сумм. Для случая, когда страховые суммы положительны или только отрицательны, Арфведсон [6] нашел двойное преобразование Лапласа — Стильтьеса функции W.{t, х). Для произвольных страховых сумм метод определения W{t, х) предложил в 1955 г.- Крамер [14]. (См. также работу Бакстера и Донскера [1] в гл. 4.)
§ 36. ЗАДАЧИ
1. Рассмотреть пример 2 раздела „Положительные страховые суммы". Найти функцию О, (t, s), определенную формулой (20).
2. Доказать, что
(k + z)
k-l _-_ ;/2:/з
A /ll/2l
kl
Sft-k
для k = \, 2,... и всех г (Арфведсон [4] ).
3. Доказать формулы (40), (41) и (42).
4. Доказать формулу (58).
5. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где
_ -х
#(*) = !'
I 0 при х < 0,
а с — положительная константа.
6. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где
„, ч ( 1 -е~2х(\ +2х) при *>0,
НM= 1 о ^ о
I. 0 при х < 0,
ас — положительная константа.
7. Найти функцию W (x), определенную формулой (10), где
Г 1 -ае-* при *>0, I (1 — а) е* при х <0
и 0 <а< 1. 8. Положим
с»
£2 (*, s) = f e_**d*№ (г, *)
о
при Re (s) ^ 0, где функция W (<, х) задана соотношением (54) и
Е |e-sS (")} =ecsu-ku [1-Ф («)]
для Re (s) = 0, где ф (s) — преобразование Лапласа — Стильтьеса функции H (x). Доказать, что
[1] Ammeter H., A generalisation of the collective theory of risk in regard to fluctuating basic-probabilities, Skand. Akt., 31 (1948), 171—198.
[2] A r f w e d s о n G., Some problems in the collective theory of risk, Skand. Akt., 33 (1950), 1—38.
[3] Arfwedson G., A semi-convergent series with application to the collective theory of risk, Skand. Akt., 35 (1952), 16—35.
[4] Ar f w e d s о n G., Research in collective risk theory. The case of equal risk sums, Skand. Akt., 36 (1953), 1—15.
[5] Arfwedson G., On the collective theory of risk, Trans. Internat. Congress of Actuaries, Madrid, 1954.
[6] Arfwedson G., Research in collective risk theory, Part I, Skand. Akt., 37 (1954), 191—223; Part II, Skand. Akt., 38 (1955), 53—100.
[9] С r a m é r H., Review of F. Lundberg «Försäkringsteknisk Riskutjämning I, Teori», Skand. Akt., 9 (1926), 223—245.
[10] Cramer H., On the mathematical theory of risk, Skandia Jubille Volume, Stockholm, 1930.
[11] Cramer H., Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités, Act. Sei., № 736, Paris, 1938.
[12] Cramer H., Deux conférences sur la théorie des probabilités, Skand. Akt., 24 (1941), 34—69.
[13] Cramer H., On some questions connected with mathematical risk, Univ. of California Pub. in Statist., 2 (1954). 99—124.
[14] Cramer FL, Collective risk theory. A survey of the theory from the point of view of the theory of stochastic processes, Jubilee Volume of Försäkrings-aktiebolaget Skandia (Skandia Insurance Company), Stockholm, 1955, pp. 1—92.
[17] Esscher F., On the probability function in the collective theory of risk, Skand. Akt., 15 (1932), 175—195.
[18] Es se en С. G., Fourier analysis of distribution functions, Acta Math 77 (1954), 1—125.
[19] Feller W., Generalization of a probability limit theorem by Cramer, Trans. Amer. Math. Soc, 54 (1943), 361—372.
[20] L a u r i n I., An introduction into Lundberg's theory of risk, Skand. Akt., 13 (1930), 84—111.
[21] Lundberg F., Approximerad framställning av sannolikhetsfunktionen. Aterförsäkring av kollektivrisker, Uppsala, 1903.
[22] Lundberg F., Zur Theorie der Rückversicherung, Verhandl. Kongr. Versicherungsmath., Wien, 1909.
[23] Lundberg F., Försäkringsteknisk Riskutjämning, I—II, Stockholm, 1926— 1928.
[24] Lundberg F., Über die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Risikenmasse, Skand. Akt., 13 (1930), 1—83.
[25] L.undberg F., Some supplementary researches on the collective risk theory, Skand. Akt., 15 (1932), 137—158.
[26] Lundberg F., On the numerical application of the collective risk theory, De Förenade Jubilee Volume, Stockhom, 1934.
[29] S a x e n T., On the probability of ruin in the collective risk theory for insurance enterprises with only negative risk sums, Skand. Akt., 31 (1948), 199—228.
[30]_Saxen T., Sur les mouvements aléatoires et le problème de ruine de la théorie du risque collective, Soc. Sei. Fenn. Comm. Phys. Math., 16 (1951), 1—55.
[31] Segerdahl С. О., On homogeneous random processes and collective risk theory, Thesis, Stockholm, 1939.
[32] Segerdahl С. О., Über einge risikotheoretische Fragestellungen, Skand. Akt., 25 (1942), 43—83.
[33] Segerdahl С. О., Some properties of the ruin function in the collective theory of risk, Skand. Akt., 31 (1948), 46—87.
[34] Segerdahl С. О., When does ruin occur in the collective theory of risk?, Skand. Akt., 38 (1955), 22—36.
[36] T а с к 1 i n d S., Sur le risque de ruine dans des jeux inéquitables. Skand. Akt., 25 (1942), 1—42.
[43] X и н ч и н А. Я., Математические методы в теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-та им. Стеклова, 49 (1955), 1—122.
[45] Колмогоров Л. H., Sur le problème d'attente, Матем. сб., 38, № 1, 2 (1931), 101—106.
[66] С a a t и Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и ее приложения, изд-во «Сов. радио», М., 1965.
[90] Wold H. О. А. (редактор), Bibliography on time series and stochastic processes, Cambridge, Mass., 1965.