 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Произвольные страховые суммы ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Пусть теперь страховые суммы могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Иначе говоря, {/(«), О ^ и < оо} — пуассоновский процесс и его распределение задается формулой (2). Тогда %(и) можно представить в виде суммы случайного числа случайных величин: *(«)= 2 ъ, (53) где Хи %2> . .., Xt, ... —взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения Я (х), а ть т2, .. ., т,-, .. . —моменты наступления событий данного пуас-соновского процесса. Случайные величины {/,■} и {tJнезависимы. Кроме того, разности т(- — тг_[ (/=1,2,...; т0 = 0) являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения F(x)= 1 — е-Л* для х^О. Обозначим а = Е{Х(}. Положим £(«) = %{и) — си для «^0. Тогда №(/, х) = Р{ sup £(«)<*} (54) И Г(х) = Р{ sup £(«)<*}. (55) 0<и<оо Для х^О имеем W (t, x) = e~Kte(x + ct) + 6{t, X, С) X + CU + j J W(t-u, x + cu-y)e-tMkdudH(y), (56) Oo где e (ж) = 1 при л: ^ 0 и e (x) = 0 при x < 0; ô (/, x, с) = t при с ^ 0 и ô (t, х, с) = min (t — х/с) при с < 0. В самом деле,
при u>t, при u<à(t, х, с), (57) В' остальных случаях.
Взяв математическое ожидание от (57) по т^ и %и получим (56). Решив интегральное уравнение (56), найдем W(t, х). Из уравнения (56) можно вывести интегро-дифференциальное уравнение dW (t, x) dW (t, x) ,
= С--- ^—- — X W(t, x)- J W(t, x-y)dH(y) , (58)
справедливое для почти всех (t, x)(t^0, x^O). Рассуждая так же, как при выводе уравнения (56), получаем W
5 (я. с) х+си (*)= J J" W (x + си - y) е~КиХ du dH(y) (59)
при x ^ 0, где ô {x, c) = oo при с ^ 0 и ô (x, c)= — x/c при с < 0. Если Xa<c, то №(oo)=l, a W (x) определяется по формуле (59). Если Ха^с, то №(оо) = 0, откуда W(x) = 0 для всех х. Те же рассуждения, что и при выводе уравнения (58) из (56), дают cW (x) = X
W(x)- jW(x-y)dH(y) — oo для всех х^О. Проинтегрировав (60) от х до оо, получим ОО X c[\-W{x)\ = X | [l-H(u)]du + X J" [l-W(u)]du- x 0 oo -X j [l-W(u)]H(x-u)du (61)
для x ^ 0. Если Ха<с и с^О, то oo j e-sxdW(x) = A(s) о для Re(s)^0, а если Ха<с и с<0, то -*. oo je-dW(x) = A(s)(Y^) о для Re(s)>0, где Л (s) = exp I - J" e-** dM (x) \ (62) (63) (64)
и Оо оо М (х) = S Ч\ J e~Kvu"~l [!-#»(* + си)] du, (65) п=\ О ИЛИ M(x) = f V{l(ul>K) du (66) о при х^О. Формулы (62) и (63) легко доказать с помощью соотношения (23) § 11. Положим £= sup £(и). Если с^О, то 0<и<°о £ = sup £(тг + 0)= sup (xi+ ... +Хг-стг), (67) 0<r<°o 0<r<°o а если c<[0, то £ = sup £(тг-0) = sup (x,+ ... +Xr-i + CTr). (68) В соответствии с этим, если \т — %г — с(хг — tr-\) для г=1, 2, ..., то для с^О формула (67) дает £ = sup(0, g,, Êi+Ег, .... Si+ ... +lr, •••), (69) где ■ I,, g2, ..., |„ ...—взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины. Если Е {|г} = а — с/Х < 0, то £ — собственная случайная величина, а преобразование Лапласа — Стильтьеса распределения Р {t, ^. х) — W (х) определяется по формуле (23) § 11. Если Е{У = а-сД>0, то Р{| = оо}=1, т.е. W(x) = 0 для всех х. Если \т = Хг — с(тг+1 — хг) для г=\, 2, ..., то для с^О формула (68) дает £=-CTl + sup(0, tuh + h, .... Êi + ... + S„ ...), (70) откуда £ = cti + £*, где величина Ç не зависит от Т[ и имеет такое же распределение, что и (69). Замечание. В заключение приведем небольшой обзор исторического развития математической теории разорения. Асимптотическое распределение процесса разорения (х(и), 0^«<оо) было впервые изучено в 1903 г. Лундбергом [21] и далее исследовалось им же в работах [22—26]. Лундберг заметил, что если Е{%(и)) = ри и Var{x(«)} = 02«, где число а2 конечно и положительно, то limpiM^L<x}= I h-Mdy. (71) п-><х> L у а2и ) у 2л •>
Погрешность нормального приближения оценили Крамер [9, 10] и Эссеен [18]. Приближенную формулу для Р (х(«) — р« ^ хи) при х<0 дал Эстер [17], а потом его метод развивали Крамер [11] и Феллер [19]. Функцию разорения Р {0* < оо} = 1 — W (х), определенную соотношением (55), ввел Лундберг [23, 25, 26]. Для случая положительных страховых сумм (Я(0) = 0) Лундберг нашел, что 1 = W(x)^.e~Rx при ï^O и 1 — W(х)~Ce~Rx при х->оо, где R и С —положительные константы. В 1926 г. Крамер [9] обнаружил, что при Ха<с и #(0) = 0 функция W(x) удовлетворяет интегральному уравнению типа Вольтерры х c[l -W(x)] = Xa-l j W(u)[l-H(x-u)]du (72) о для х^О. В 1930 г. Крамер [10] нашел преобразование Фурье функции W(x) (формула Полячека — Хинчина в теории очередей). Для постоянных страховых сумм функция W(x) была найдена в явном виде Феллером (см. также Сегердал [31, стр. 88]). В этом случае ее еще раньше нашел Эрланг (см. [20] в литературе к гл. 5). Для произвольных страховых сумм Сегердал [31 — 33] показал, что l-W(x)^e~*x при х>0 и 1 - W (х) ~ Се~^х при х->оо. В 1937 г. Крамер [12] доказал, что в случае произвольных страховых сумм W(x) удовлетворяет интегральному уравнению (61). Решение интегрального уравнения (61) в виде (62) и (63) дали Тэклинд [36] и Крамер [13]. Моменты случайной величины 0*, определенной формулой (6), вычислили Лундберг [23] и Сегердал [31]. Функцию разорения Р{0л^/}= 1 — W(t, x), определенную формулой (54), изучал первым Саксен [29, 30]. В случае отрицательных страховых сумм Саксен [29] вывел интегро-дифференциальное уравнение (58), а для отрицательных и постоянных сумм он нашел решение (48). В 1950 г. Арфведсон [2] получил интегро-дифференциальное уравнение (58) и нашел явное выражение для W(t, x) в случае, когда страховые суммы являются положительными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (33)), а также в случае, когда страховые суммы являются отрицательными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (51)); см. также Арфведсон [3]. Для положительных и постоянных страховых сумм функцию W(t, x) нашли Саксен [30] и Арфведсон [4] при / = т/с и x = n (m, n — неотрицательные целые числа). Арфведсон [4] нашел также W(m/c, n) для отрицательных и постоянных страховых сумм. Для случая, когда страховые суммы положительны или только отрицательны, Арфведсон [6] нашел двойное преобразование Лапласа — Стильтьеса функции W.{t, х). Для произвольных страховых сумм метод определения W{t, х) предложил в 1955 г.- Крамер [14]. (См. также работу Бакстера и Донскера [1] в гл. 4.)
§ 36. ЗАДАЧИ 1. Рассмотреть пример 2 раздела „Положительные страховые суммы". Найти функцию О, (t, s), определенную формулой (20). 2. Доказать, что
k-l _-_ ;/2:/з A /ll/2l kl Sft-k для k = \, 2,... и всех г (Арфведсон [4] ). 3. Доказать формулы (40), (41) и (42). 4. Доказать формулу (58). 5. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где _ -х #(*) = !' I 0 при х < 0, а с — положительная константа. 6. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где „, ч ( 1 -е~2х(\ +2х) при *>0, Н M= 1 о ^ о I. 0 при х < 0, ас — положительная константа. 7. Найти функцию W (x), определенную формулой (10), где Г 1 -ае-* при *>0, I (1 — а) е* при х <0
и 0 <а< 1. 8. Положим с» £2 (*, s) = f e_**d*№ (г, *) о при Re (s) ^ 0, где функция W (<, х) задана соотношением (54) и Е |e-sS (")} = ecsu-ku [1-Ф («)] для Re (s) = 0, где ф (s) — преобразование Лапласа — Стильтьеса функции H (x). Доказать, что °° I A (s, w), если с 5г 0, w f e~wtQ(t, s)dt=\ J X + w \ J A(s,w)\-r—,----- , если с<0, о l K \a + w — es J
для 0 < w < то, где A (s, w) = exp J - Г e~sxdxM (x, w) \ и Oo oo oo ±__ j е-^+»)»и«-1[1_яге(л; + с«)]сг«= j -^— P{£ («) > x] dw при x^sO. (См. Крамер [14].)
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ammeter H., A generalisation of the collective theory of risk in regard to fluctuating basic-probabilities, Skand. Akt., 31 (1948), 171—198. [2] A r f w e d s о n G., Some problems in the collective theory of risk, Skand. Akt., 33 (1950), 1—38. [3] Arfwedson G., A semi-convergent series with application to the collective theory of risk, Skand. Akt., 35 (1952), 16—35. [4] Ar f w e d s о n G., Research in collective risk theory. The case of equal risk sums, Skand. Akt., 36 (1953), 1—15. [5] Arfwedson G., On the collective theory of risk, Trans. Internat. Congress of Actuaries, Madrid, 1954. [6] Arfwedson G., Research in collective risk theory, Part I, Skand. Akt., 37 (1954), 191—223; Part II, Skand. Akt., 38 (1955), 53—100. [9] С r a m é r H., Review of F. Lundberg «Försäkringsteknisk Riskutjämning I, Teori», Skand. Akt., 9 (1926), 223—245. [10] Cramer H., On the mathematical theory of risk, Skandia Jubille Volume, Stockholm, 1930. [11] Cramer H., Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités, Act. Sei., № 736, Paris, 1938. [12] Cramer H., Deux conférences sur la théorie des probabilités, Skand. Akt., 24 (1941), 34—69. [13] Cramer H., On some questions connected with mathematical risk, Univ. of California Pub. in Statist., 2 (1954). 99—124. [14] Cramer FL, Collective risk theory. A survey of the theory from the point of view of the theory of stochastic processes, Jubilee Volume of Försäkrings-aktiebolaget Skandia (Skandia Insurance Company), Stockholm, 1955, pp. 1—92. [17] Esscher F., On the probability function in the collective theory of risk, Skand. Akt., 15 (1932), 175—195. [18] Es se en С. G., Fourier analysis of distribution functions, Acta Math 77 (1954), 1—125. [19] Feller W., Generalization of a probability limit theorem by Cramer, Trans. Amer. Math. Soc, 54 (1943), 361—372. [20] L a u r i n I., An introduction into Lundberg's theory of risk, Skand. Akt., 13 (1930), 84—111. [21] Lundberg F., Approximerad framställning av sannolikhetsfunktionen. Aterförsäkring av kollektivrisker, Uppsala, 1903. [22] Lundberg F., Zur Theorie der Rückversicherung, Verhandl. Kongr. Versicherungsmath., Wien, 1909. [23] Lundberg F., Försäkringsteknisk Riskutjämning, I—II, Stockholm, 1926— 1928. [24] Lundberg F., Über die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Risikenmasse, Skand. Akt., 13 (1930), 1—83. [25] L.undberg F., Some supplementary researches on the collective risk theory, Skand. Akt., 15 (1932), 137—158. [26] Lundberg F., On the numerical application of the collective risk theory, De Förenade Jubilee Volume, Stockhom, 1934. [29] S a x e n T., On the probability of ruin in the collective risk theory for insurance enterprises with only negative risk sums, Skand. Akt., 31 (1948), 199—228. [30]_Saxen T., Sur les mouvements aléatoires et le problème de ruine de la théorie du risque collective, Soc. Sei. Fenn. Comm. Phys. Math., 16 (1951), 1—55. [31] Segerdahl С. О., On homogeneous random processes and collective risk theory, Thesis, Stockholm, 1939. [32] Segerdahl С. О., Über einge risikotheoretische Fragestellungen, Skand. Akt., 25 (1942), 43—83. [33] Segerdahl С. О., Some properties of the ruin function in the collective theory of risk, Skand. Akt., 31 (1948), 46—87. [34] Segerdahl С. О., When does ruin occur in the collective theory of risk?, Skand. Akt., 38 (1955), 22—36. [36] T а с к 1 i n d S., Sur le risque de ruine dans des jeux inéquitables. Skand. Akt., 25 (1942), 1—42. [43] X и н ч и н А. Я., Математические методы в теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-та им. Стеклова, 49 (1955), 1—122. [45] Колмогоров Л. H., Sur le problème d'attente, Матем. сб., 38, № 1, 2 (1931), 101—106. [66] С a a t и Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и ее приложения, изд-во «Сов. радио», М., 1965. [90] Wold H. О. А. (редактор), Bibliography on time series and stochastic processes, Cambridge, Mass., 1965.
Поиск по сайту: |