Математическая теория процессов разорения, возникающих в страховом деле, ведет начало с 1903 г. с работ Лундберга [21, 22]. Дальнейшие исследования в этой области проводились между 1926 и 1955 г. Лундбергом [23—25], Крамером [9—14], Эстером [17], Сегердалом [31—34], Тэклиндом [36], Саксеном [29, 30], Амметером [1], Арфведсоном [2 — 6] и др.
Предположим, что компания производит обычные страховые операции (страхование жизни, нетрудоспособности, несчастного случая, болезни, аварии, пожара, страхование обязательств и т. д). Держатели полисов регулярно выплачивают страховые премии. Компания собирает премии в резервный фонд и, если происходит страховой случай, выплачивает договорную сумму. Страховую компанию можно рассматривать как регулировочный аппарат для держателей полисов, индивидуальные риски определяются компанией в виде цены страховой премии. Размеры страховых премий назначаются таким образом, чтобы в течение длительного периода они покрывали в среднем выплаты компании на страховые случаи. Страховая премия, исчисляемая этим способом, называется чистой страховой премией. В дополнение к чистой страховой премии держатели полисов выплачивают ценную страховую премию для покрытия нежелательных отклонений от среднего. Сумма чистой и ценной страховых премий составляет общую страховую премию. Это пример страхования лишь с положительными премиями и положительными страховыми суммами.
Существуют другие виды страхования, противоположные описанному. Типичный случай — операции с пожизненной рентой. Здесь компания постоянно выплачивает ренту держателям полисов, в то время как случайная смерть одного из держателей полисов представляет соответствующую сумму в распоряжение компании, играя таким образом роль выплаты держателя полиса компании, или выплаты компании держателю полиса отрицательной суммы. Рента также может рассматриваться как отрицательная страховая премия. Это пример страхования лишь с отрицательными страховыми премиями и отрицательными страховыми суммами.
Случаи только положительных страховых сумм (отсутствие ренты) и только отрицательных страховых сумм (чистые операции с рентой) являются важными частными случаями. Однако, вообще говоря, компания может вести страховые дела обоих типов.
Суммы, выплачиваемые компанией при установлении страхового случая, могут тогда быть как положительными, так и отрицательными. Аналогично страховые премии, взимаемые компанией, могут быть как положительными, так и отрицательными (выплата по ренте).
Теория разорения изучает вероятностные законы, которым подчиняются случайные флуктуации резервного фонда. Знание этих законов важно для того, чтобы быть в состоянии вовремя принять меры предосторожности.
Математическая модель процесса разорения
Пусть в интервале времени (0, оо) страховые случаи происходят согласно процессу Пуассона с интенсивностью À (т), 0^т<оо. Страховые суммы, выплачиваемые компанией, которые могут быть как положительными, так и отрицательными, являются взаимно независимыми одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения Н(х), и они не зависят от моментов наступления страховых случаев.
Вместо того чтобы рассматривать процесс наступления страховых случаев в обычном времени, удобно ввести новую временную переменную (оперативное время, преобразованное время) и = и (т):
« = -£ j K(o)dv, (l)
о
где Я — положительная константа. Если тогда обозначить через % (и) общую страховую сумму, выплаченную в интервале (0, и], то (я (и), 0<1и<оо} будет стохастическим процессом со стационарными независимыми приращениями и функцией распределения
CD
РШ<х} = %е-ь»-У^р-Нп(х), (2)
где Нп(х) есть n-я свертка функции Н(х); Н0(х)=Л при ^0и Я0(х) = 0 при х < 0. Процесс fie (и), 0 =SC и < оо} — это обобщенный пуассоновский процесс. Если интеграл
CD
й= jxdH(x) (3)
—со
существует, то общая средняя страховая сумма, выплачиваемая компанией в интервале (0, и], равна
Е & (и)} = Каи.
(4)
В условиях частного бизнеса накопленная чистая страховая премия (премии за вычетом выплачиваемой ренты) в интервале (0, и] равна Каи. Если применяются также ценные страховые премии, to общая страховая премия равна {Ка + Ь)и, где Ь>0 при а>0 (например, в случае положительных страховых премий) и КО При а<0 (например, в случае отрицательных страховых премий). Предположим, что в момент и = 0 компания располагает начальным капиталом х для покрытия потерь из-за случайных флуктуации. Тогда резервный фонд в момент и равен
у(и) = х + си~х{и) (5)
для 0 <! и < оо, где у (0) = х — начальный резервный фонд в момент и = 0, а с — константа.
Одна из основных задач в теории разорения состоит в определении вероятности разорения, т. е. вероятности того, что резервный фонд когда-нибудь станет отрицательным, или, более точно, вероятности того, что разорение произойдет до момента t.
Обозначим через Qxмомент времени, когда впервые резервный фонд становится отрицательным в интервале (0, с»), т. е.
0^ = inf{«: y(")<0 для 0<ы<оо} (6)
и 0^ = 00 при y(«)>0 для ы^О.
Тогда вероятность того, что разорение произойдет в интервале (О, /], равна
P{6x<fl=l-P{ sup [х(«)-си]<*}, (7)
а вероятность того, что разорение когда-нибудь произойдет, равна Р{6^<°°}=1-Р{ sup Ц(и)-си]'<х}. (8)
Если вероятности Р {6_,<<»} и P{0^^/} известны, то можно принять меры предосторожности (увеличение премии, перестрахование и т. д.), позволяющие уменьшить вероятность разорения настолько, чтобы оно было практически невозможно. Обозначим
W(t,x)-P{ sup fö(«)-«*]<*} (9)
0<u«И
Г(л:) = Р{ sup [х(и)-си]<*}. (10)
0<и<оо
Большинство исследований посвящено нахождению функций распределения W(x), W(t, x) и их асимптотик при больших значениях X.