Односторонний предел по Коши

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .

Свойства.

• Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
• Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой.

Теоремы.

Пусть числовые функции f (x) и g (x) определены на некотором интервале, быть может, кроме точки х₀ этого интервала, и имеют конечные пределы в этой точке

и

Тогда

• если | A | < ∞, то функция f (x) ограничена в окрестности точки х₀.

Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих в данной точке конечный предел, равен алгебраической сумме пределов этих функций в этой же точке:

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, при условии, что последние существуют.

Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, при условии, что последние существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Предел отношения двух функций, имеющих предел в данной точке, равен отношению пределов этих функций в той же точке, если предел знаменателя отличен от нуля:

и ,

то

Предел промежуточной функции.

Если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство g (x) < f (x) < p (x) и

то

Предел суперпозиции двух функций.
Пусть функция g отображает выколотую окрестность точки х₀ (а, b) радиуса δ в выколотую окрестность точки y₀ (c, d). Это значит, что найдётся такое число Δ, что для всех значений аргумента х, не совпадающих с х₀ и меньших по величине этого числа Δ, значения функции не будут принимать значения у₀:

( Δ > 0 ) ( 0 < | x - x₀ | < Δ ) : | g ( x ) – y₀ | > 0.

Пусть функции g: (a, b) → (c, d) и f : (c, d) \ { y₀} → Z и имеют пределы

и

Тогда

Предельный переход в неравенстве.
Пусть в некоторой выколотой δ – окрестности точки х₀ функции f (x) и g (x) определены и выполнено неравенство f (x) < g (x). Пусть существуют пределы

и

тогда справедливо неравенство А ≤ B.

Поиск по сайту: