Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .
Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Окрестностное определение по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в .
Свойства пределов числовых функций.
Пусть даны функции и .
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
где — проколотая окрестность точки a.
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
Предел суммы равен сумме пределов:
Предел разности равен разности пределов:
Предел произведения равен произведению пределов:
Предел частного равен частному пределов.
Определения.
Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.
Односторонний предел по Гейне
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .