Елементи математичної статистики

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант варіаційного ряду (спостережні значення признака X) та відповідні їм частоти (сума всіх частот дорівнює об’єму вибірки ).

			...
			...
			...

Для досліджень вибірку, яка містить більше 10 варіант, розбивають на інтервали. Кількість інтервалів підраховують за формулою:

(1.3.1)

Довжина інтервалів дорівнює:

(1.3.2)

Значення на інтервалі приймають як середнє значення інтервалу.

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , визначаючу для кожного значення відносну частоту події :

(1.3.3)

Точковою називають статистичну оцінку, що визначається одним числом.

Незміщеною називають точкову оцінку, математичне очікування якої дорівнює оцінюваному параметру при будь-якому обсязі вибірки.

Зміщеною називають точкову оцінку, математичне очікування якої не дорівнює оцінюваному параметру.

Вибірковою середньою називається середнє арифметичне значень ознаки вибіркової сукупності

(1.3.4)

Вибірковою дисперсією називається середнє арифметичне квадратів відхилень значень від вибіркової середньої:

(1.3.5)

де - середнє арифметичне квадратів значень вибірки.

(1.3.6)

Виправлене середнє квадратичне відхилення розраховується за формулою:

(1.3.7)

Інтервальною називають оцінку, що визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває оцінюваний параметр.

Довірчим називають інтервал, що із заданою надійністю покриває оцінюваний параметр.

Інтервальнаоцінкаматематичного сподівання розраховується за формулою::

; (1.3.8)

де - обсяг вибірки;

- точність оцінки;

- значення аргументу функції Лапласа, для якого .

2. Приклади розв′зання типових задач

Приклад 1

У конверті знаходяться 20 пронумерованих карток. Навмання дістають дві з них. Знайти ймовірність того, що їх номери 11 і 3.

Розв′язання:

Уведемо позначення: подія - поява карток з номерами 11 и 3 одночасно. Шукана ймовірність визначаеться за формулою (1.1.1).

;

- число елементарних подій, які сприяють події

. – загальне число усіх можливих наслідків випробування , кількість способів, якими можна з 20 елементів витягти по 2 елемента.

Приклад 2

Зроблено залп із двох гармат. Імовірність влучення в мішень із першої гармаи дорівнює , із другої - . Знайти ймовірності наступних подій: а) ціль уражена тільки однією гарматою;

б) ціль не уражена.

Розв′язання:

а) Уведемо позначення: подія - ціль уражена тільки однією гарматою: першою, тоді друга не влучила - подія або другою, тоді перша не влучила - подія . Використовуючи формули (1.1.2, 1.1.5) маємо:

, ;

.

б) Уведемо позначення: подія - ціль не уражена, тобто і перша і друга гармати не влучили вціль. Використовуючи формулу (1.1.5) розраховуємо:

.

Приклад 3

Два мисливці одночасно стріляють по меті. Імовірність влучення в мету Ι-м мисливцем , ΙΙ -м - . У результаті в мету влучає тільки один мисливець. Знайти ймовірність того, що промахнувся Ι-й мисливець.

Розв′язання:

Уведемо позначення: подія - в мету влучає тільки один мисливець. Гіпотези: - Ι-й мисливець промахнувся;

- Ι-й мисливець влучів у ціль.

За формулами (1.1.6, 1.1.7) розраховуємо і :

; ;

; ;

Приклад 4

Прилад складається з 5-ти вузлів. Ймовірність вийти з ладу для будь якого вузла однакова . Знайти ймовірність безвідмовної роботи приладу, якщо для цього потрібно, щоб працювало не менше 4-х вузлів.

Розв′язання:

Уведемо позначення: подія - прилад працює безвідмовно. Для появи події потрібно, щоб безвідмовно працювало або 4 ( подія ) або 5 вузлів (подія ). За формулою (1.1.8) розраховуємо:

;

.

Приклад 5

Знайти найімовірнішу кількість ясних днів у вересні, якщо за даними багаторічних спостережень відомо, що у вересні в середньому буває 11 непогожих днів.

Розв′язання:

Задача вирішується за формулою ( ), де кількість днів у вересні , ймовірність появи ясного дня , ймовірність появи хмарного дня .

;

; .

Приклад 6

Було посаджено 400 дерев. Знайти ймовірність того, що число дерев, що прижилися, більше 350. якщо ймовірність . що окреме дерево приживеться 0,8.

Розв′язання:

За умовами задачі маємо , , , , . Задачу вирішуємо за формулою (1.1.10):

Поиск по сайту: