Дискретні випадкові величини. Теорія випадкових подій

Теорія випадкових подій

Випадковою називають таку подію, що може або відбутися або не відбутися при здійсненні сукупності умов, пов'язаних з можливістю появи даної події.

При класичному визначенні ймовірність появи події А дорівнює:

(1.1.1)

де - число елементарних подій, які сприяють події А;

- число елементарних подій стохастичного експерименту.

Об'єднанням ( або сумою) декількох випадкових подій називається подія, що складається в появі принаймні однієї з даних подій.

Сполученням ( або добутком ) випадкових подій називається складна подія, що полягає в одночасній або послідовній появі даних подій.

Під умовною ймовірністю події В стосовно події А ( ) розуміється ймовірність появи події В, визначена в припущенні, що подія А вже настала.

Деякі властивості ймовірності

1. - для кожної події А;

2. - для вірогідної події ;

3. - для несумісних подій А і В;

4. - для кожної події А;

5. - для неможливої події ;

6. , якщо .

Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, не має значення якої:

. (1.1.2)

Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій:

. (1.1.3)

Ймовірність сумісної появи двох подій:

. (1.1.4)

Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій:

. (1.1.5)

Якщо - повна група подій і для то для будь якої випадкової події А справджується рівність (формула повної ймовірності):

. (1.1.6)

Якщо подія А може відбутися лише за умови появи однієї з несумісних подій , що утворять повну групу, то переоцінити ймовірності кожної з гіпотез можна після появи події А за формулою Байеса:

. (1.1.7)

Повторні випробування:

Формула Бернулі:

. (1.1.8)

Локальна теорема Лапласа:

. (1.1.9)

Інтегральна теорема Лапласа:

. (1.1.10)

де - ймовірність появи події А при кожному випробуванні ( );

- ймовірність появи події ( );

- загальне число випробувань;

- кількість появ події А;

- значення локальної функції Лапласа;

- значення інтегральної функції Лапласа.

Найімовірніше число появи події:

; (1.1.11)

1) якщо - дробове, то існує єдине найімовірніше число ;

2) якщо - ціле, то існують два найімовірніших числа: і ;

3) якщо - ціле, то найімовірніше число .

Bипадкові величини

Дискретні випадкові величини

Дискретною називається випадкова величина, значення якої є окремі ізольовані числа і між двома сусідніми значеннями немає інших можливих значень.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається перелік її можливих значень та їх відповідні ймовірності.

Числові характеристики дискретних випадкових величин:

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутків їх можливих значень та відповідних ймовірностей. Характеризує середнє значення випадкової величини.

(1.2.1)

Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Характеризує ступінь розсіювання випадкової величини навколо її математичного сподівання.

(1.2.2)

Середнє квадратичне відхилення– математичний квадратний корінь з дисперсії. Також характеризує ступінь розсіювання випадкової величини, але в одиницях розмірності випадкової величини

(1.2.3)

Функцією розподілувипадкової величини називають функцію, визначаючу ймовірність того, що випадкова величина матиме значення менше, ніж аргумент функції.

(1.2.4)

Модою M_o(x) випадкової величини називається те її значення, при якому щільність розподілу максимальна.

Ймовірність того, що дискретна випадкова величина буде знаходитись в інтервалі можна підрахувати з допомогою функції розподілу.

(1.2.5)

Поиск по сайту: