Проектирование элементов катушек индуктивности

Пример 4.1. Рассчитать индуктивность L соленоида со следующими параметрами:

1) число витков N=1000;

2)диаметр соленоида D_к =0,8 см;

3) длина соленоида l = 12 см.

Решение.

1. Значение индуктивности L является коэффициентом пропорциональности между потокосцеплением Y и величиной переменного тока i, протекающего через соленоид (рис. 4.1):

Y = Li, Вб , (4.1)

где Y = ФN = BSN – потокосцепление, Вб = Т×м²;

Ф – переменный поток магнитной индукции, Вб;

B = m_omH – индукция магнитного поля, Т;

m_o = 4p×10^–7 Г/м – магнитная постоянная;

m – магнитная проницаемость среды, в которой находится катушка (в качестве среды служит сердечник катушки);

H = – напряженность переменного магнитного поля, создаваемого током в катушке, А/м;

l – длина катушки, м;

N – число витков катушки;

Таким образом, потокосцепление равно .

Подставляя в выражение (4.1) значение Y,для индуктивности соленоида получаем выражение

. (4.2)

Выражение (4.2) справедливо при расчетах индуктивности катушек, намотанных на магнитопроводах с замкнутой магнитной цепью (на­пример, кольцевых или броневых).

2. Для расчета индуктивности соленоида выразим в формуле (4.2) значение площади поперечного сечения соленоида S через диаметр D_к:

.

Тогда

×10^–3, мкГ, (4.3)

где все размеры выраженыв см.

Подставляя в формулу (4.3) исходные данные задачи, получим:

мкГ.

Ответ. L=526,2 мкГ 0,53 мГ.

Пример 4.2. Рассчитать индуктивности L_к высокочастотных катушек, изображенных на рис.4.2, а-в при следующих исходных данных:

а) число витков N=6; диаметр D_к =1,2 см; длина намотки l=1,0 см;

б) число витков N=4; диаметр D_к =1,2 см; длина намотки l=1,3 см; шаг намотки τ=3 мм; диаметр провода без изоляции d₀= 1 мм;

в)число витков N=100; диаметр D_ср =1,5см; длина намотки l=0,9 см;глубина намотки t=0,3 см.

Решение.

Цилиндрические катушки получают методом намотки провода на каркас цилиндрической формы, изготовленный из диэлектрического материала. Обмотки цилиндрических катушек индуктивности имеют небольшую длину l по сравнению с диаметром каркаса D_к (рис. 4.2, а–в) и характеризуются заметным рассеянием магнитного потока, создаваемого током в катушке. Поэтому выражение (4.3) не годится для расчета коротких цилиндрических катушек индуктивности.

1. Для выполнения инженерного расчета индуктивности цилиндрической катушки без сердечника в формулу (4.3), вводится параметр L₀, и расчетная формула представляется выражением

L = L_oN²D_к×10^–3, мкГ. (4.4)

Для однослойных катушек (рис.4.2, а, б) параметр L_о = f(l/D_к), где l – длина намотки. Для мно­­гослойных катушек (рис.4.2, в) L_о = f(l/D_ср, t/D_ср), где t – глубина намотки кату­­ш­ки, D_ср – средний диаметр катушки, см.

Графики значений коэффициента L_o для одно­­слойных и многослойных катушек представлены на рис. 4.3 и 4.4.

2. Для однослойной катушки с шагом

L = [L_oN²D_к – 2πND_к (A+B)] ×10^–3, мкГ, (4.5)

где A=f(d₀/τ) и B=f(N) определяются из рис. 4.5; d₀ – диаметр провода без изоляции; τ – шаг намотки.

Подставляя в формулы (4.4) и (4.5) значения условий задачи, получим следующие результаты:

а) l/D_к=1/1,2=0,83; из графика рис. 4.3 следует, что L_o= 7,7; подставляя в формулу 4.4 получим ,что L = 7,7·6²·1,2·10^–3 =0,333 мкГ.

б) l/D_к=1,3/1,2=1,083; из графика рис.4.3 следует, что L_o=6,5; d₀/τ =1/3=0,3; из графиков рис.4.5 следует, что А(0,3)= – 0,5 и B(4)=0,18; подставляя в формулу 4.5 получим ,что

L = [6,5×4²×1,2 – 2×3,14×4×1,2 (-0,5+0,18)]×10^–3=

=[124,8+9,65] ×10^–3 0,134 мкГ.

в) l/D_ср=0,9/1,5=0,6; t/D_ср =0,3/1,5=0,2; из графика рис.4.4 следует, что L_o=7,5; подставляя в формулу 4.4 получим, что

L = 7,5·(100)²·1,5·10^–3 =112,5 мкГ.

Ответ: а) L=0,333 мкГ; б) L=0,134 мкГ; в) L=112,5 мкГ 0,11 мГ

Пример 4.3. Рассчитать добротность Q катушки индуктивности при следующих исходных данных:

1) частота f=2,4 МГц;

2) индуктивность L=15 мкГ;

3) обобщенное сопротивление потерь в катушке =3 Ом.

Решение.

Полная эквивалентная электрическая схема за­ме­щения высокочас­то­т­ной катушки индуктивности изо­­­бражена на рис. 4.6, а. На этой схеме ис­по­ль­зуются следующие обо­значения: L 10^–6¼10^–2 Г – ин­дуктивность катушки, R_L 1¼10 Ом – сопротивле­ние последовательных потерь, вносимых проводом и дополнительными элементами конструкции катушки, С_L 0,5¼10 пФ – собственная емкость катушки, R_из 10⁸¼10⁹ Ом – сопро­­тивление изоляции про­­вода намотки и каркаса катушки.

Воспользовавшись упрощенной эквивалентной схемой высокочастотной катушки, изображенной на рис. 4.6, б, выражение для добротности катушки можно записать в виде

, (4.6)

где f – частота переменного тока i, протекающего через катушку, Гц; – обобщенное сопротивление активных потерь в катушке, Ом.

Подставляя исходные данные задачи в выражение (4.6), получим:

.

Ответ. Q=75,4.

Заметим, что максимальное значение добротности высокочастотных катушек индуктивности обычно не превышает 300¼400 ед.

Пример 4.4.Рассчитать сопротивление потерь в собственной емкости следующих катушек:

а) однослойная катушка с D_к =12 мм и индуктивностью L=50 мкг; тангенс угла диэлектрических потерь изоляции провода и каркаса катушки tgd_из =8·10^-3 на частоте f=1,2 МГц ;

б) многослойная катушка с D_ср =20 мм с индуктивностью L=1,9 мкг; диэлектрическая проницаемость изоляции провода намотки e=4; tgd_из =5·10^-3 на частоте f=0,24 МГц

Решение.

Собственная емкость катушки – это емкость, возникающая между отдельными витками катушки, витками и металлическими частями конструкции РЭС. Собственная емкость катушки ухудшает ее добротность, внося дополнительное сопротивление потерь R_CL. При этом активная мощность, выделяющаяся в диэлектрической изоляции обмотки, равна , где U=IωL; tgd_из – тангенс угла диэлектрических потерь изоляции провода и каркаса катушки; С_L – собственная емкость катушки. В результате получаем, что

.

Отсюда следует формула для расчета последовательного сопротивления потерь R_CLв собственной емкости катушки:

, Ом, (4.7)

Собственную емкость однослойных катушек можно оценить по формуле

C_L = (0,5…1,5)D_к , пФ, (4.8)

где D_к – диаметр каркаса, см.

Собственную емкость многослойных катушек рассчитывают из выражения

C_L = pD_ср(8,5e + 8,2)10^–1, пФ, (4.9)

где D_ср – средний диаметр намотки, см; e – диэлектрическая проницаемость изоляции провода намотки.

1. Согласно формуле (4.8) собственная емкость однослойной катушки равна

C_L = 0,5·1,2=0,6 пФ.

Подставляя в формулу (4.7) полученное значение C_L и исходные данные задачи для однослойной катушки получим следующий результат

Ом.

2. Согласно формуле (4.9) собственная емкость многослойной катушки равна

C_L =3,14·2,0(8,5·4+8,2)0,1=26,5 пФ.

Подставляя в формулу (4.7) полученное значение C_L и исходные данные задачи для однослойной катушки получим следующий результат

Ом.

Ответ: а) R_CL=0,0051 Ом;б) R_CL=0,72 Ом.

Пример 4.5.Рассчитать сопротивлениепровода катушки индуктивности току высокой частоты при следующих исходных данных:

1) частота f=2,4 МГц;

2) диаметр провода без изоляции d₀=0,45 мм;

3) средний диаметр намотки D_ср=10 мм; l=8,5 мм;

4) число витков намотки N=15

Решение.

Для частот f 10 МГц сопротивление провода катушки индуктивности току высокой частоты рассчитывается по следующей формуле:

. (4.10)

где F(z) и G(z) – функции Бесселя от переменной z = 0,106d_o ; d_o – диаметр провода намотки без изоляции, см; f – частота тока, протекающего через катушку, Гц; k = f(l/D) – коэффициент; l – длина; D_ср – средний диаметр обмотки, см; N – число витков катушки.

Графики значений функций F(z) и G(z) представлены на рис. 4.7, а. График значений коэффициента k = f(l/D) изображен на рис. 4.7, б.

Сопротивление постоянному току цилиндрической катушки с простой многослойной намоткой из одножильного медного провода равно

, Ом, (4.11)

где D_cр и d_o должны быть выражены в мм, а удельное сопротивление r – в Ом×мм.

1. Рассчитываем значения параметров, входящих в формулу (4.10). Из формулы (4.11) получаем значение сопротивления провода намотки постоянному току:

Ом

Параметр z рассчитываем из соотношения

z = 0,106d_o =0,106·0,045· =7,4.

Из графиков рис.4.7, а следует, что функция Бесселя F(7,4) 2,9, а функция G(7,4) 2,2. Из графика рис.4.7, б следует, что значение функции k(l/D_ср)= k(0,85) 5.

2. Подставляя значения параметров в формулу (4.10), получим что

Ом.

Ответ. R_м=0,48 Ом;

Пример 4.6.Рассчитать сопротивлениепровода цилиндрической катушки индуктивности току высокой частоты, намотанной проводом "литцендрат" при следующих исходных данных:

1) частота f=0,8 МГц;

2) марка провода намотки ЛЭШО 15х0,08;

3) средний диаметр намотки D_ср=15 мм; l=8,5 мм;

4) число витков обмотки N=90

Решение.

Сопротивление току высокой частоты катушек, намотанных проводом “литцендрат”, на средних частотах в несколько раз ниже сопротивления аналогичных катушек, намотанных эмалированным одножильным проводом с дополнительной шелковой изоляцией, следовательно, добротность таких катушек выше.

Сопротивление току высокой частоты катушек, намотанных проводом “литцендрат”, вычисляется по формуле

, (4.12)

где R_м – сопротивление, Ом; d – диаметр отдельной жилки, см; n – число жил; d_o – полный наружный диаметр литцендрата (без учета наружной изоляции), приближенно равный (при малых d)

, см; (4.13)

e = 1,55¼2,0 – коэффициент, зависящий от числа жил.

Сопротивление постоянному току катушки, намотанной литцен­д­ра­том, равняется

, Ом. (4.14)

В формуле (4.10) величины D_ср и d должны быть выражены в мм, а коэффициент а = 1,02¼1,06 учитывает удлинение жилки за счет скрутки.

1. Рассчитываем значения параметров, входящих в формулу (4.12). Из формулы (4.14) получаем значение сопротивления провода намотки постоянному току (коэффициент а=1,04):

Ом

2.По формуле (4.13) рассчитываем полный наружный диаметр литцендрата d_o

см.

3. Параметр z рассчитываем из соотношения

z = 0,106d_o =0,106·0,042· 4.

Из графиков рис.4.7, а следует, что функция Бесселя F(4) 1,8, а функция G(4) 0,7. Из графика рис.4.7, б следует, что значение функции k(l/D_ср)= k(0,57) 8.

2. Подставляя значения параметров в формулу (4.10), где e = 1,77, получим что

Ом.

Ответ. R_м=2,7 Ом.

Пример 4.7.Рассчитать сопротивление провода однослойной катушки метрового диапазона со следующими исходными данными:

1) частота f=60 МГц;

2) диаметр катушки D =8 мм;

3) число витков обмотки N=10;

4) диаметр провода обмотки d₀=0,8 мм.

Решение.

Расчет сопротивления провода однослойных катушек метрового диапазона, приме­няемых в системах КВ и УКВ радиотелефонной и телевизионной связи (частоты 30¼300 МГц), производится по формуле

, Ом (4.15)

где D – диаметр катушки, см; d_o – диаметр провода без изоляции, см; f – частота в МГц.

Подставляя в формулу (4.15) условия задачи, получаем

Ом.

Ответ. R_м=0,41 Ом.

Пример 4.8.Рассчитатьcопротивление потерь R_m в сердечнике катушки, изготовленном из феррита марки 50ВЧ при следующих исходных данных:

1) частота f=20 МГц;

2) индуктивность 1,5 мкГ.

Решение.

Характеристикой потерь в ферромагнитных сердечниках высокочастотных катушек является тангенс угла магнитных потерь, tgd_m. Значение тангенса угла магнитных потерь в общем случае определяется соотношением

, (4.16)

где R_m – активное cопротивление потерь в сердечнике, вносимое в общее последовательное сопротивление потерь высокочастотной катушки; wL – реактивное сопротивление катушки.

Зависимость tgd_m от частоты для некоторых ферритов представлена на рис. 4.6, а и б [1].

1. Из формулы (4.16) получаем выражение для расчета активного cопротивления потерь в сердечнике:

R_μ=2πfL·tgδ_μ. (4.17)

Из графика рис. 4.8, а находим значение tgδ_μ 0,007.

Подставляя в формулу (4.17) получаем

R_μ=2πfL·tgδ_μ.=6,28·20·10⁶·1,5·10^-6·7·10^-3=1,32 Ом.

Ответ. R_μ=1,32 Ом.

Пример 4.9.Рассчитатьотносительную магнитную проницаемость μ_отн цилиндрического магнитного сердечника при следующих исходных данных:

1) тип сердечника - СЦР6х10;

2) материал сердечника - феррит 1000НМ3;

3) диаметр катушки D_к=1,3 см;

4) длина катушки l_к=0,9 см.

Решение.

Цилиндрические сердечники (рис. 4.9, а–г) – это сердечники марок СЦР (с резьбой), СЦГ (гладкие), СЦТ (трубчатые).

Сердечники с резьбой используются для подстройки катушек, гладкие – для подстройки катушек и для изготовления магнитных антенн, трубчатые – для подстройки в ферровариометрах. Гладкие и трубчатые сердечники выпускаются только из феррита.

В технической документации размеры сердечника обозначаются в виде . Диаметр D_c сердечников для подстройки катушек (под­строеч­ни­ков) составляет 1,8¼9 мм, длина l_c сердечников равна 10¼20 мм. Длина гладких сердечников, предназначенных для устройства магнитных антенн, достигает 80...120 мм, форма может быть как цилиндрической, так и прямоугольной.

Относительная магнитная проницаемость цилиндрического сердечника рассчитывается по формуле

m_отн = m_нk_mk' , (4.18)

где k_m = f(D_к/D_c) и k' = f(l_к/D_c) – коэффициенты, рассчитываемые с помощью графиков на рис. 4.10.

1. Из графика на рис. 4.10, а, б определяем значения коэффициентов k_μ(13/6)= k_μ(2,15) 0,16 и k' (9/6)= k_μ(1,5) 0,87.

2. Подставляя исходные данные в формулу (4.18), получим

m_отн = m_нk_mk' ,=1000·0,16·0,87=139.

Ответ. m_отн=139.

Пример 4.10.Рассчитать относительную магнитную проницаемость μ_отн ииндуктивность L катушки на броневом магнитном сердечнике при следующих исходных данных:

1) число витков катушки N=50;

2) тип сердечника – Б22;

3) внутренний диаметр сердечника D₂=18,3 мм;

4) диаметр центрального керна D₃=9,2 мм;

5) высота сердечника H₁=13,6 мм;

6) высота окна сердечника H₂ =9,4 мм;

7) материал сердечника - феррит 700НМ;

8) величина зазора между чашками l_з =0,3 мм;

Решение.

Броневой сердечник (рис. 4.11) состоит из двух половинок (чашек) с центральным керном, в отверстие которого вставляется цилиндрический подстроечник.

Обмотку выполняют на отдельной цилиндрической катушке, помещаемой во внутреннюю полость сердечника. Чаш­ки и подстроечник изготавливают из феррита или карбонильного железа.

Для получения необходимых электромагнитных параметров и повышения стабильности магнитных свойств между чашками в центра­ль­­ный керн броневого сердечника вводят нормирован­ный зазор длиной l_з=0,1¼0,3 мм.

Промышленность выпускает боль­шой ассортимент броневых сердечников из карбонильного железа марок Р-10 или Р-20. Применяются также пре­цизионные термостабильные ферриты марок 2000СНМ1, 1500НМ3, 700НМ, 50ВЧ2, 30ВЧ и 20ВЧ2.

В технической документации употребляют буквенно-цифровые обо­значения броневых сердечников. Сердечники, изготовленные из карбонильного железа или феррита, соответственно обозначают СБ-D₁ (ГОСТ 5.704) или Б-D₁; например, СБ-12а, Б-22. Наружный диаметр сердечников D₁ составляет 6...48 мм.

Относительная магнитная проницаемость броневого сердечника рассчитывается по формуле

, (4.19)

где l_зи l_c– длины зазора между чашками и магнитной силовой линии в сердечнике, соответственно.

Длина магнитной силовой линии l_c рассчитывается из геометрических размеров броневого сердечника (рис. 4.11, а) по формуле

l_c= 2H_ср + D_ср = (H₁ + H₂) + (D₁ – D₃). (4.20)

Индуктивность катушки с броневым сердечником рассчитывается по формуле:

L = A_LN²,мкГ, (4.21)

где постоянная A_L определяет индуктивность одного витка (коэф­фициент индуктивности ):

, мкГ. (4.22)

где l_c– см; S_c– площадь сечения магнитной цепи, см²:

. (4.23)

1. Определяем относительную магнитную проницаемость сердечника m_отн. Первоначально по формуле (4.20) рассчитываем длину магнитной силовой линии l_c:

l_c= (13,6 + 9,4) + (22 – 9,2)=35,8 мм.

Подставляя в формулу (4.19) исходные данные, получим

.

2. Для определения коэффициента индуктивности A_L сначала по формуле (4.23) рассчитываем площадь сечения магнитной цепи S_c:

мм²=0,585 см².

Подставляя исходные данные в формулу (4.22), получим

мкГ.

3. По формуле (4.21) рассчитываем индуктивность катушки L:

L = 0,292·50² =730 мкГ.

Ответ. m_отн=142; L=730 мкГ.

Добавим, что значения коэффициента А_L приводятся в качестве справочных данных на броневые сердечники.

Пример 4.11.Рассчитать индуктивность L катушки на кольцевом магнитном сердечнике при следующих исходных данных:

1) число витков катушки N=10;

2) тип сердечника – К5 2 1,5;

3) материал сердечника - феррит 30ВЧ2.

Решение.

Кольцевые (тороидальные) сердечники представляют собой кольца, изготовленные из ферромагнитных материалов (рис. 4.12. Эти сердечники дают наиболее полное использование магнитных свойств из-за практически полного отсутствия рассеяния магнитного потока, создаваемого катушкой, намотанной на таком сердечнике. Относительная проницаемость кольцевого сердечника примерно равна начальной магнитной проницаемости магнитного материала, то есть m_отн m_н.

Кольцевые сердечники применяют для широкополосных согласующих трансформаторов, для контуров промежуточной частоты радиоприемников, для контуров, перестройка частоты которых производится подмагничиванием, для высокочастотных дросселей. К недос­таткам катушек на кольцевых сердечниках от­носятся невозможность подстрой­ки частоты, а также необходимость применения специального обо­рудования для намотки.

Промышленность выпускает обширный ассортимент кольцевых сердечников из ферритов (ГОСТ 17141), карбонильного железа (ГОСТ 14208) и альсифера (ГОСТ 8763). В технической документации и при заказе кольцевые сердечники обозначают КD_н D_вн h. Первая цифра после буквы К обозначает наружный диаметр, вторая цифра – внутренний диаметр и третья цифра – высоту кольца (в мм), например К5 2 1,5. Для радиочастот рекомендуются сердечники из феррита, у которых D_н /D_вн = 1,6¼2,5 при D_н = 5¼10 мм.

Индуктивность катушки на кольцевом сердечнике прямоугольного сечения определяется по формуле

, мкГ, (4.24)

где все размеры выражены в см.

1. Подставляя исходные данные задачи в формулу (4.24) получим

мкГ.

Ответ. L_с=0,82 мкГ.

Пример 4.12.Рассчитать индуктивность L_{э. к.} экранированной катушки при следующих исходных данных:

1) индуктивность неэкранированной катушки L=140 мкГ;

2) длина катушки l=9 мм;

3) диаметр катушки D_к =15 мм;

4) диаметр экрана D_э =25 мм.

Решение.

Индуктивность экранированной катушки L_э.крассчитывается из выражения

L_э.к= L – DL_э= L(1 – k_св²), (4.25)

где L – индуктивность неэкранированной катушки; DL_э – индуктивность, “вносимая” экраном в индуктивность катушки; – коэффициент связи между катушкой и экраном, который определяется соотношением геометрических размеров экрана и катушки, величина 0<k_св<1; M – взаимная индуктивность между катушкой и экраном.

Для однослойных и тонких многослойных катушек коэффициент связи может быть определен по формуле

(4.26)

где D_ки D_э– соответственно диаметры катушки и экрана; h – коэффициент, зависящий от отношения , где l – длина намотки катушки.

Значения коэффициента h приведены на рис. 4.13.

1. Для расчета коэффициента связи k_св из графика h=f( ) на рис.4.13 находим значение параметра связи η= η(9/15)= η(0,6) 1. Подставляя значения параметров в формулу (4.26), получим

.

2. Подставляя значение k_св² в формулу (4.25) получаем

L_э.к=140(1 – 0,22)=109,2 мкГ.

Ответ. L_э.к=109,2 мкГ.

Пример 4.13.Рассчитать добротность Q_э.к. экранированной катушки при следующих исходных данных:

1) частота f=0,9 МГц;

2) индуктивность экранированной катушки L_э.к.=109 мкГ;

3) диаметр провода без изоляции d₀=0,35 мм;

4) число витков обмотки N=99;

5) длина катушки l=9 мм;

6) диаметр катушки D_к =15 мм;

7) диаметр экрана D_э =25 мм;

8) длина экрана l_э =25 мм;

9) коэффициент связи между катушкой и экраном k_св=0,47;

10) материал экрана – алюминий (r_э= 2,83×10^–6 Ом×см).

Решение.

Присутствие экрана вызывает изменение общего сопротивления катушки R_э.к, так как экран вносит в катуш­ку некоторое сопротив­ле­ние DR_эи од­новременно ослабляет эффект близости вследствие умень­шения напряженности маг­­­нит­ного по­ля около экра­ни­рован­ной катушки.

Добротность экранированной катушки выражается соотношением:

. (4.27)

Сопротивление экранированной катушки току высокой частоты без учета вносимого сопротивления равно:

, (4.28)

где использованы те же обозначения, что и в формуле (4.10).

Вносимое сопротивление DR_э может быть определено на основании теории связанных цепей по формуле

. (4.29)

Сопротивление экрана R_э зависит от эффективной глубины проникновения высокочастотного тока, размеров экрана и удельного электросопротивления его стенок. При­ближенно оно равно:

, (4.30)

где r_э– удельное сопротивление материала экрана, Ом×см; pD_э– длина пути вихревого тока, см; – эффективная глубина про­ни­к­новения тока, см; f – частота в Гц; l_эx_эф– активное (проводящее ток) сечение, см².

Подставляя значение R_эиз выражения (4.30) с учетом значения x_эфв формулу (4.29), получим для вносимого сопротивления DR_эвыражение

(4.31)

где частота тока f выражается в Гц.

1. Сначала по формуле (4.28) рассчитываем значение сопротивления R'_э.к. экранированной катушки току высокой частоты без учета вносимого сопротивления. Для этого из формулы (4.11) получаем значение сопротивления провода намотки постоянному току:

Ом.

Параметр z рассчитываем из соотношения

z = 0,106d_o =0,106·0,035· =3,52.

Из графиков рис.4.7, а следует, что функция Бесселя F(3,52) 0,15, а функция G(3,52) 0,6. Из графика рис.4.7, б следует, что значение функции k(l/D_ср)= k(0,6) 8.

Подставляя значения параметров в формулу (4.28), получим что

Ом.

2. По формуле (4.31) рассчитываем величину вносимого сопротивления DR_э:

Ом.

3. Подставляя полученные результаты в соотношение (4.27) рассчитываем добротность экранированной катушки:

.

Ответ. Q_э.к.=108.

Пример 4.14.Рассчитать размеры индуктивно связанных катушек индуктивности при коаксиальном расположении катушек. Исходные данные для расчета:

1) коэффициент связи между катушками k_св=0,47;

2) диаметр внутренней катушки D₂ =9 мм.

Решение.

Задачей конструктивного расчета катушек с трансформаторной связью является определение их конструктивных размеров исходя из значения коэф­фи­циента электромагнитной связи k_св, которое заранее известно из электрического расчета схемы.

Конструктивную реализацию надлежащей связи между катушками без сердечника с погрешностью менее 5% от заданной величины k_св осуществляют с помощью номограмм на рис. 4.14, когда катушки расположены одна в другой и выполняются соотношения

l₁D₁ = l₂ D₂; (4.32а)

l₁D₂ = l₂D₁, (4.32б)

где D₁ и l_{1 –} ди­а­метр и длина наружной катушки; D₂ и l_{2 –} ди­а­метр и длина внутренней катушки, очевидно D₂ < D₁.

Приведенные графики носят общий характер, поскольку коэффициент k_св опреде­ля­ется относительными размерами катушек и не зависит от числа витков.

1. По заданному значению коэффициента связи k_св=0,47 на номограмме рис. 4.14 находим точки пересечения горизонтальной прямой, восстановленной из точки 0,47 с кривыми, соответствующими различным значениям отношений диаметров наружной и внутренней катушек: D₁/D₂ = 1,1; 1,2; 1,3; 1,4. В качестве варианта выберем, например, точку пересечения го­ри­зонтали с кривой соответству­ю­щую от­ношению D₁/D₂ = 1,4. Этому зна­чению соответствует диаметр на­руж­ной катушки D₁ = 1,4·D₂ = 1,4·9=12,6 мм.

Из соотношений (4.32) вытекают два варианта размещения катушек:

а) из соотношения (4.32а) следует:

l₁/D₂ 0,25; (4.33а)

l₂/D₁ 0,25. (4.33б)

Из формулы (4.33а) следует, что

l₁ = 0,25·D₂= 0,25·9=2,25 мм.

Из формулы (4.33б) следует, что

l₂ = 0,25·D₁= 0,25·12,6=3,15 мм.

Таким образом, при использовании соотношения (4.32а) получается что длина l₁ наружной катушки меньше длины l₂ внутренней катушки.

б) из соотношения (4.32б) следует:

l₁/D₁ 0,25; (4.34а)

l₂/D₂ 0,25. (4.34б)

Из отношения (4.34а) следует, что

l₁ = 0,25·D₁ =025·12,6= 3,15 мм.

Из отношения (4.34б) следует, что

l₂ = 0,25·D₂= 0,25·9=2,25 мм.

Таким образом, при использовании соотношения (4.32б) получается что длина l₁ наружной катушки больше длины l₂ внутренней катушки

Ответ. а) D₁=12,6 мм, l₁=2,25 мм; D₂=9 мм, l₂=3,15 мм;

б) D₁=12,6 мм, l₁=3,15 мм; D₂=9 мм, l₂=2,25 мм.

Пример 4.15.Определить расстояние m между индуктивно связанными катушками индуктивности и их длины l при смежном (соосном) расположении. Исходные данные для расчета:

1) коэффициент связи между катушками k_св=0,1;

2) диаметр катушки D_н =9 мм;

3) отношение длины катушки к диаметру катушки l/D_н=1,6.

Решение.

Зависимость коэффициента связи между двумя смежными цилиндрическими катушками одинаковой длины l и диаметра D_к от расстояния m между ними показана на номограмме, представленной на рис. 4.15. Ограничений на соотношение между числами витков в обмотках катушек нет.

1. По заданным значениям коэффициента связи k_св=0,1и отношения длины катушки к диаметру катушки l/D_н=1,6 на номограмме рис. 4.15 восстанавливаем перпендикуляры к координатным осям из соответству­ющих точек.

2. Точка пересечения перпен­дикуляров соответствует зна­чению m/D_н 0,1. Из этого соотношения рассчитываем тре­­бу­е­мое расстояние между катушками:

m=0,1D_н=0,1·9= 0,9 мм

Ответ. m=0,9 мм; l=1,6·9=14,4 мм.