Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

ОБРАЗЕЦ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ. ПО ТЕХНИКЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ



ПО ТЕХНИКЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

И ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ

 

 

Задача №1

 

Вычислить производные следующих функций.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

 

Задача №2

 

Вычислить производные функций, заданных неявно, и функций, заданных параметрически.

1)

2)

3)

4)

Задача №3

 

Исследовать функции на непрерывность. Указать точки разрыва и характер разрыва.

 

1)

2)

3)

4)

 

Задача №4

Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

 

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

 

Задача №5

Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

 

Решение задачи №1

 

Для решения примеров на вычисление производной необходимо выучить наизусть правила дифференцирования, таблицу производных, а также нужно хорошо разбираться в порядке следования операций в математическом выражении. Весь этот материал изложен в лекции 1, где также вычислено большое число производных и приведены замечания, полезные при дифференцировании.

1) .

2)

.

3)

.

4)

.

5) .

6)

.

7)

.

8)

.

9) .

.

10)

.

11)

.

12)

.

13)

.

14)

.

15)

.

16)

.

 

 

Решение задачи №2

 

 

Примеры 1) и 2) связаны с вычислением производной функции, заданной неявно. Именно, если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешимо в явном виде относительно , то называется неявной функцией переменной . Несмотря на то, что уравнение не разрешено относительно , оказывается возможным найти производную по . Для этого обе части данного уравнения дифференцируем по с учетом того, что есть функция от , и из полученного уравнения определяем .

1) Дифференцируем обе части уравнения по переменной . Получаем:

.

2)

.

 

Примеры 3) и 4) связаны с вычислением производной функции, заданной параметрически. Если система уравнений , где и – дифференцируемые функции и , определяет как функцию от , то производная существует и вычисляется по формуле:

12) Рассмотрим систему , которую будем мыслить как функцию .

Находим и : , .

Получаем: .

Ответ:

 

13) Пусть . Находим и : , .

Получаем: .

 

Ответ:

 

 

Решение задачи №3

 

1) Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах , , функция непрерывна. Разрывы возможны лишь в точках и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел , и правосторонний предел , но между собой они не равны. Поэтому точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода (эти точки разрыва характеризуются тем, что левый и правый пределы конечны).

Рассмотрим точку :

,

.

Значение функции в точке равняется . Так как , то в точке функция непрерывна.

Итак, функция непрерывна на множестве .

 

2) Область определения функции есть множество . На интервалах , функция непрерывна. Поэтому разрыв возможен только в точке . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Поэтому точка является для заданной функции точкой разрыва второго рода (эти точки разрыва характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен).

Итак, функция непрерывна на множестве .

3) Область определения функции – вся числовая ось кроме точек 1 и –2. Поэтому разрывы возможны только в этих точках.

Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Итак, точка – точка разрыва второго рода.

Рассмотрим точку :

,

.

Итак, точка – также точка разрыва второго рода.

Таким образом, функция непрерывна на множестве .

4) Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки –3. На интервалах , функция непрерывна. Поэтому разрыв возможен только в точке . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Итак, точка – точка разрыва второго рода.

Функция непрерывна на множестве .

 

Решение задачи №4

 

Перед решением примеров данного раздела следует изучить лекции 4 и 5.

1) Здесь имеет место неопределенность . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

.

2) Вычислим отдельно предел числителя и знаменателя. Имеем:

, .

Поэтому, из соотношения (12) на стр.20 получаем:

.

3) По теореме 6 на стр. 18 при многочлен эквивалентен своему одночлену с наивысшей степенью. По теореме 7 на стр. 18 числитель и знаменатель можно заменить на эквивалентные им функции. Имеем:

.

4) Из цепочки эквивалентностей (8) на стр. 17 получаем и . Заменяя эквивалентной ей функцией и – функцией , получаем:

.

5) Решение этого примера аналогично решению примера 4. При , . Заменяя числитель и знаменатель эквивалентными им функциями, получаем:

.

6) При имеем: , . Получаем:

.

 

7) Имеем: .

В процессе решения мы применили эквивалентность .

8) Здесь имеет место неопределенность . Перенесем иррациональность в знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на . Получаем:

.

9) Разделив и умножив дробь на сопряженные выражения для числителя и знаменателя, получаем:

.

10) Решение этого примера совершенно аналогично решению примера 3. А именно, используя эквивалентность (9), получаем:

.

11) Сперва применяем формулу преобразования суммы синусов в произведение, а затем используем 4–е свойство предела функции (стр.13):

12) Решение аналогично решению примеров 3 и 10:

.

13) .

В процессе решения мы применили эквивалентность .

14) Перед решением этого примера следует просмотреть пример 19 на стр. 22. Обозначим

и прологарифмируем данное равенство. Получаем:

(мы применили эквивалентность ). Перейдем теперь от логарифма к самой функции:

.

 

Решение задачи №5

 

Для решения примеров этого раздела необходимо изучить теорему Лопиталя (см. теорему 9 на стр. 20-21). Правило Лопиталя применяют повторно, пока не устранится неопределенность или обнаружится, что нужные пределы не существуют.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7)

.

8) .

9)

.

10) .

11) Обозначим . Имеем: . Далее:

.

Окончательно: .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.