Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой



Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует обратная зависимость, а именно:

если - бесконечно малая величина, не равная 0, то обратная ей величина - бесконечно большая величина ( - б/м, то - б/б);

если - бесконечно большая величина, то обратная - бесконечно малая величина.

 

Понятие о пределе переменной величины

Пусть переменная , изменяясь неограниченно близко приближается к числу 5, принимая следующие значения

5,1; 5,01; 5,001; 5,0001 … 5

или

4,9; 4,99; 4,999; 4,9999 … 5.

Мы видим, что абсолютная величина разности стремится к нулю, то есть ; 0,01; 0,001; 0,0001 0, то есть разность - величина бесконечно малая.

Число 5 называется пределом переменной и записывается или .

Определение: Постоянная называется пределом переменной , если разность между ними есть величина бесконечно малая , то есть , если - бесконечно малая, можно записать, что .

Следовательно,

.

 

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

- бесконечно малая.

2) Произведение бесконечно малой величины на постоянную есть величина бесконечно малая

бесконечно малая.

Следствие: Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую величину есть величина бесконечно малая.

 


ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема I. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.

Теорема II. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных величин.

Доказательство: Докажем для двух переменных величин.

- переменные

Сложив эти равенства, получим ,

.

Имеем в левой части разность между переменной и постоянной , в правой бесконечно малую.

Следовательно, согласно определению предела

,

.

Точно также можно доказать для трех, четырех и любого конечного числа переменных.

Теорема III. Предел разности переменных, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных

.

Теорема IV. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

Доказательство:

Дано, что , . Докажем теорему для двух переменных, то есть нужно доказать, что

.

Так как

то

,

.

Умножим эти равенства, получим

,

В левой части имеем разность между переменной и постоянной , в правой части сумму бесконечно малых величин (теорема о б/м).

Следовательно,

.

Эту теорему можно доказать для любого конечного числа переменных.

Следствие 1: , где постоянная.

Следствие 2: , где - любое действительное значение.

.

Теорема V. Предел частного от деления двух переменных величин, имеющих пределы, равен частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не равен нулю

, если .

Предел функции

О пределе функции можно говорить только при условии задания предела, к которому стремится ее аргумент , без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.

Определение: Число называется пределом функции в точке , если для всех значений , достаточно близких к и отличных от , значение функции сколь угодно мало отличается от числа

.

Иначе говоря, число называется пределом функции в точке , если для всех значений , для которых модуль разности между величиной и есть величина бесконечно малая, модуль разности между и есть также величина бесконечно малая

- б/м при условии - б/м.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.