Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по скорости их приближения к нулю.
Пусть f(x) и g(x) бесконечно малые функции при x→x0, причем хо может быть как числом, так и одним из символов +∞, -∞, ∞.
Определение1. Если , то функция f(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости (скорее приближается к нулю), чем g(x), а функция g(x) называется бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с f(x).
Определение2. Если , то функция f(x) называется бесконечно малой функцией низшего порядка малости по сравнению с g(x), а g(x) - бесконечно малой функцией высшего порядка малости, по сравнению с f(x).
Определение3. Если , то ,f(x) и g(x)называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если , тоf(x) и g(x)называются эквивалентными бесконечно малыми (пишут f(x) ~ g(x))
Определение4. Если. , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка малости по сравнению с g(x).
Теорема.Предел отношениядвух бесконечно малых функций не меняется, если каждую из них или какую-либо одну заменить эквивалентными им. Т.е., если f(x)~f1(x), g(x)~g1(x), то .
При вычислении пределов часто бывает полезным заменить бесконечно малую величину более простой, эквивалентной ей.
Пример. Вычислить .
Решение. Т.к. при х→0 функции f(x)=tg2x, и g(x)=arcsin3x – бесконечно малые, заменим их эквивалентными: tg2x~2x arcsin3x~3x. Имеем:
.
Пример.Доказать, что функции sinx и tgx при x→0 эквивалентные бесконечно малые.
Решение. Т.е. нужно показать, что . Действительно,
.
Пример.Показать, что если х –бесконечно малая первого порядка, то 1-cosx - бесконечно малая второго порядка, по сравнению с х.
Решение. На основании определения 4 покажем, что . Действительно, .
Пример.Считая, что х – бесконечно малая первого порядка, определить порядок малости функции sinx-tgx.
Решение. В данном примере, в отличие от предыдущего, порядок малости функции sinx-tgx не задан, его нужно определить. Будем считать, что порядок малости этой функции равен k и найдем k такое, чтобы (согласно определению 4).
Теперь все зависит от предела . Если 3-k>0, то Если 3-k<0, то . Только тогда, когда 3-k=0, т.е. k=3, получим (т.к. ), а искомый предел равен , т.е. имеет конечное и отличное от нуля значение. Итак, k=3 и при x→0 функция sinx-tgx- бесконечно малая третьего порядка малости, по сравнению сх.
Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.
Пример.Показать, что функция f(x)=x2+4 является при x→∞ бесконечно большой более низкого порядка (имеет менее высокий порядок роста), чем g(x)=x3-2.