При вычислении предела целой рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением (такое правило можно сформулировать, опираясь на теоремы о пределах и свойства бесконечно больших и малых величин).
Пример. Найти .
Решение. Функция - целая рациональная. Для вычисления ее предела в аналитическом выражении функции заменим его предельным значением. Подробное решение выглядит так:
, но обычно оформляют запись следующим образом: .
Предел дробно-рациональной функции
При вычислении предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль. (*)
Пример. Найти .
Решение. Нужно вычислить предел дробно-рациональной функции. Проверим, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х=1: 12-2.1+4=3≠0; значит
.
Пример.Найти .
Решение. Проверяем знаменатель дроби при х=3: 32-5.3+6=0, т.е. функция при х=3 не существует. Мы не можем применить ни теорему о пределе дроби, ни правило (*). Вспомним, что определение предела функции f(x) при х→хо не требует, чтобы точка х=хо входила в область определения функции. Поэтому значение х=хо можно не рассматривать. В данном примере мы будем считать, что х, стремясь к 3, никогда не становится равным 3, и поэтому значение функции при х=3 нас не интересует.
И знаменатель, и числитель дроби при х=3 равны нулю. Мы имеем отношение двух бесконечно малых функций, о котором без специального исследования ничего определенного сказать нельзя (говорят, что имеем неопределенность вида ). Разделим числитель и знаменатель дроби на х-3. Т.к. значение х=3 мы не рассматриваем, значит х-3≠0 и такое деление возможно. Сокращая дробь, получим . Заметим, что если не рассматривать значение х=3, полученная функция будет тождественна данной функции и можно находить ее предел вместо данной.
Т.о. .
Итак, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при х→хо числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, (т.е. неопределенность вида ), надо и числитель и знаменатель дроби разделить на х-хо и перейти к пределу. Если и после этого определенность не исчезнет, нужно произвести повторное деление на х-хо. (В элементарной математике существует следствие из теоремы Безу, согласно которому, если многочлен обращается в нуль при х=хо, то он делится без остатка на х-хо. Поэтому такое деление возможно).
Пример. Вычислить .
Решение. Разделить числитель и знаменатель на одно и тоже не равное нулю выражение, значит сократить дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой разложения на множители квадратного трехчлена ах2+вх+с=а(х-х1)(х-х2), где х1 и х2 –корни квадратного уравнения ах2+вх+с=0.
х2-х-12=0, D=1+4·12=49,;
значит х2-х-12=(х-4)(х+3);
х2+5х+6=0, D=25-4.6=1, ;
значит х2+5х+6=(х+2)(х+3), тогда
.
Замечание. Деление многочлена на многочлен можно выполнять в столбик:
Т.е. х2-х-12=(х-4)(х+3); х2+5х+6=(х+2)(х+3).
Пример.Вычислить .
Решение. , т.е. предел числителя при х→2 равен -4, а предел знаменателя равен нулю. Теорему о пределе дроби применить нельзя. Рассмотрим предел обратной дроби (здесь теорема о пределе дроби применима, т.к. предел знаменателя -3х+2 не равен нулю). Т.к. предел функции равен нулю, то эта функция при х→2 бесконечно малая, значит обратная ей функция при х→2 бесконечно большая, и тогда ее предел (см. свойства бесконечно больших функций).
В дальнейшем при вычислении пределов такого типа, можно сразу записывать ответ.