Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

III. Дифференциальные уравнения

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Определение 3.1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной, саму переменную и производные (или дифференциалы) различных порядков данной функции. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример 3.1.Укажите порядок следующих уравнений:

, , .

Определение 3.2. Решением дифференциального уравнения называется функция y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График функции y(x) называется интегральной кривой.

Пример 3.2. Показать, что функция является решением уравнения .

Решение. Поскольку и , то при подстановке и в исходное уравнение получаем тождество .

Определение 3.3. Общим решением дифференциального уравнения n–го порядка называется функция , зависящая от аргумента x и n независимых произвольных постоянных, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Если в общем решении функция задана неявно, то такое решение называется общим интегралом.

Пример 3.3. Для уравнения функция

а) не является решением;

б) является решением;

в) является общим интегралом;

г) является общим решением.

Решение. Ответ в) не подходит, поскольку функция задана в явном виде. Ответ г) не подходит, поскольку функция содержит только одну независимую постоянную, а уравнение второго порядка. Осталось проверить, будет ли функция решением исходного уравнения. Для этого найдём и . Подставив представления для и в уравнение, получим тождество. Следовательно, правильным является ответ б).

Определение 3.4. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных С₁, С₂, …, С_n.

Пример 3.4. Показать, что функция является общим решением уравнения и указать несколько частных решений данного уравнения.

Решение. Найдём и . Подставив представления в уравнение, получим тождество. Следовательно, функция является решением исходного уравнения. Кроме того, поскольку она содержит две независимые постоянные и является решением уравнения второго порядка, то она является общим решением уравнения. Частными решениями данного уравнения являются, например, функции и .

Определение 3.5. Задачей Коши называется совместное задание дифференциального уравнения и соответствующего количества начальных условий, необходимых для определения постоянных С₁, С₂, …, С_n.

Пример 3.5. Решить задачу Коши

Решение. Ранее было показано, что общим решением дифференциального уравнения является функция . Продифференцировав её, получим . Подставив теперь в функцию и её производную соответствующие значения и , получим систему линейных алгебраических уравнений

Из неё следует, что С₁= 1 и С₂= -1. Поэтому решение задачи Коши имеет вид .

Пример 3.6. В комнате, где температура 20⁰ С, некоторое тело охладилось за 20 минут от 100⁰ С до 60⁰ С. Найти закон изменения температуры тела и определить, через сколько минут охладится до 30⁰ С. Какой будет температура тела через 40 минут после начала охлаждения?

Решение. Согласно закону излучения тепла скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, то есть , где y(t)- температура тела в момент времени t, a- температура окружающей среды, k- положительное число (коэффициент пропорциональности). Указанное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными

и . Воспользовавшись начальными условиями и , получим систему алгебраических уравнений

. Тогда закон охлаждения тела имеет вид . Для ответа на вопрос, через сколько времени температура тела составит 30⁰, необходимо решить уравнение

--через 60 минут. Для ответа на вопрос, какой будет температура тела через 40 минут после начала охлаждения, необходимо вычислить ⁰С.

Пример 3.7. Пусть количество потенциальных покупателей товара А составляет 100 000 человек. Обозначим y(t)--число потенциальных покупателей товара А в момент времени t. Для стимуляции сбыта была начата рекламная компания. Известно, что после начала рекламной компании скорость изменения числа покупателей, знающих о товаре А, пропорциональна как числу знающих про товар, так и не знающих. Составить закон изменения, если в момент начала рекламной компании про товар А знала половина потенциальных покупателей.

Решение. Математическая модель задачи имеет вид . Это задача Коши, содержащая уравнение с разделяющимися переменными.

Из условия находим и -- графиком этой функции является логистическая кривая. Коэффициент k выбирается с учётом специфики товара (товар первой необходимости, предмет роскоши,…). Исходя из вида логистической кривой можно сделать вывод, что после определённого момента времени продолжать рекламную компанию не следует, поскольку целевая аудитория изменяется незначительно.

Дифференциальные уравнения I–го порядка.

Определение 3.6. Дифференциальным уравнением I–го порядка называется уравнение вида

или .

Определение 3.7. Дифференциальное уравнение I–го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно представимо в виде

или .

Пример 3.8. Найти общее решение (общий интеграл) Д.У. .

Решение. Из данного уравнения следует, что либо , либо , либо . Последние два случая описывают особые решения, исключим их из рассмотрения.

- общий интеграл. Преобразуем данное соотношение, заменив постоянную на . Тогда из

находим - общее решение. Заметим, что при С=0 из общего решения можно получить особое.

Пример 3.9. Решить задачу Коши:

Решение. (поскольку случай х=0 не соответствует начальному условию). Проинтегрировав обе части, получим общий интеграл: Из начального условия

и, окончательно, -решение задачи Коши.

Пример 3.10. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Решение. и y=0-особое решение. Интегрируя левую и правую части дифференциального уравнения с разделёнными переменными (правую с помощью метода замены переменной), получим - общее решение. Заметим, что в данном примере, в отличие от примера 3.8, особое решение невозможно получить из общего.

Пример 3.11. Предельные затраты производства равны удвоенным средним. Найти функцию полных затрат, которая удовлетворяет условию y(10)=1.

Решение. Пусть x – объём производства (независимая переменная), y – соответствующие полные затраты производства (зависимая переменная). Поскольку предельные затраты имеют вид , а средние - , то из условия получаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

и . Поскольку , то . Следовательно, функция полных затрат имеет вид

Пример 3.12. Заданы функции спроса и предложения некоторого товара

, ,

где t-time–время, p-price-цена, s-supply-предложение, d-demand-спрос. Необходимо: а) найти равновесную цену как функцию от времени, если p(0)=17; б) определить, будет ли данная цена стабильной.

Решение. а) Найдём равновесную цену из дифференциального уравнения

. Так как , то из уравнения

находим и, окончательно, .

б) Поскольку , то равновесная цена является нестабильной.

Определение 3.8. Дифференциальное уравнение I–го порядка называется линейным, если его можно привести к виду: , где f(x) и g(x)—непрерывные функции. Если , то такое уравнение называется однородным, в противном случае—неоднородным. Решаются данные уравнения с помощью замены , где и - специально подобранные функции (метод Бернулли).

Пример 3.13. Найти общее решение уравнения .

Решение. Положим , тогда . Подставив эти представления в исходное уравнение, получим или . Первый этап: найдём функцию из условия (при нахождении интеграла от правой части применили метод замены переменной). Второй этап: подставим полученное представление для в исходное уравнение и найдём функцию . Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример 3.14. Решить задачу Коши

Решение. Преобразуем исходное уравнение

. Первый этап: найдём функцию из условия . Второй этап: подставим полученное представление для в исходное уравнение и найдём функцию (при нахождении интеграла от правой части применили метод интегрирования по частям). Тогда . Из начального условия находим и решение задачи Коши имеет вид .

Пример 3.15. Найти общее решение уравнения .

Решение. В данном уравнении проще рассматривать y как независимую переменную, а x(y) – как функцию. Тогда . Пусть , тогда уравнение примет вид . Первый этап: найдём функцию из условия . Второй этап: подставим полученное представление для в исходное уравнение и найдём функцию и общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример 3.16. Ежедневный уровень выпуска продукции растёт со средним темпом 0,33%. Определить закон изменения уровня выпуска продукции со временем и объём выпуска за 30 дней, если уровень выпуска на начало месяца составляет 1000 единиц продукции в сутки.

Решение. Пусть x – количество дней, прошедших с начала месяца, y - уровень выпуска продукции в соответствующий день. Тогда, исходя из условия, имеет место соотношение , и, учитывая , получим, что закон изменения выпуска продукции имеет вид . Суммарный выпуск продукции за 30 дней составит приблизительно единиц продукции.

Дифференциальные уравнения II–го порядка.

Определение 3.9. Дифференциальным уравнением II-го порядка называется уравнение вида

Определение 3.10. Дифференциальное уравнение II-го порядка называется уравнением, допускающим понижение порядка, если оно может быть представлено в виде

или .

Решаются такие уравнения с помощью замены искомой функции.

Пример 3.17. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Сделаем замену , тогда и уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными, из которого следует, что либо , либо (и тогда y=Const), либо x=0. . Сделав обратную замену, получим - общее решение исходного уравнения (при С₁ 0).

Пример 3.18. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Сделаем замену , тогда и уравнение примет вид . Это уравнение с разделяющимися переменными, из которого следует, что либо , либо или - общее решение исходного уравнения.

Определение 3.11. Дифференциальное уравнение II-го порядка называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами, если оно может быть представлено в виде

, (1)

где b, c – некоторые числа.

Определение 3.12. Уравнение

(2)

называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнению (1). Оно получается из уравнения (1) путём преобразования .

Теорема 3.1. а) Если уравнение (2) имеет два различных действительных корня , то

общее решение уравнения (1) имеет вид ;

б) Если уравнение (2) имеет один действительный корень двойной

кратности, то общее решение уравнения (1) имеет вид ;

в) Если уравнение (2) не имеет действительных корней, то общее решение

уравнения (1) имеет вид , где

Пример 3.19. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни . Это случай а), поэтому .

Пример 3.20. Найти решение задачи Коши

Решение. Для дифференциального уравнения характеристическое уравнение имеет вид . Поскольку , это случай б) и общим решением будет функция . Для того, чтобы воспользоваться вторым из начальных условий, необходимо найти . Тогда из системы линейных уравнений находим . Следовательно, решение задачи Коши имеет вид .

Пример 3.21. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . это случай в). Вычислим , тогда .

Определение 3.13. Дифференциальное уравнение II-го порядка называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами, если оно может быть представлено в виде

, (3)

где b, c – некоторые числа, z(x) – функция переменной x.

Теорема 3.2. Общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения соответствующего ему уравнения (1) и произвольного частного решения уравнения (3)

Замечание. Если правая часть уравнения (3) имеет вид , где - многочлен степени n, то частное решение уравнения (3) будем искать в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n с произвольными коэффициентами, а s определяется следующим образом