Задачи и упражнения к разделу VI

Задача 1. Из генеральной совокупности, состоящей из 500 элементов, извлекается выборка, объем которой равен 25. Выборочное среднее равно 25,7, а выборочное стандартное отклонение — 7,8. Постройте 99%-й доверительный интервал, содержащий общую сумму элементов генеральной совокупности. 10721,50 ≤ ∆S ≤ 14978,50 (t =2,8)

Задача 2. Из генеральной совокупности, состоящей из 10 000 элементов, извлечена выборка, объем которой равен 200. Среди них 10 элементов оказались бракованными.

Постройте 95%-й и 99%-й доверительные интервалы, содержащие полную разность генеральной совокупности. 3131,38 < ∆SR_i < 16931,62 (t = 1,97; åR_i = 200,63; = 1,00315; S_R = 4,998502) ---- для 95%

931,11 < ∆SR_i < 19131,89 -------- для 99%

Задача 3. Предположим, что р₃₀₀ = 0,04, n-300, а N=5000. Вычислите верхнюю границу одностороннего доверительного интервала, содержащего долю признака р с заданной вероятностью.А). 90%. Р < 0,545 Б). 95%. Р < 0,586 В). 99%. Р < 0,663

VII. Вычисление оценок и объема выборок, извлеченных из конечной генеральной совокупности

Оценка математического ожидания

При вычислениях доверительных интервалов для оценок параметров генеральной совокупности, когда выборки извлекаются без возвращения, то учитывается размер генеральной совокупности и применяется поправочный коэффициент: . Так, доверительный интервал для математического ожидания, имеющий доверительный уровень, равный (1-а)×100%, вычисляется по формуле:

(16)

Пример 1.Предположим, что за месяц в компании выписываются 5000 накладных, причем =110,27 руб., S = 28,95 руб., N= 5000, n= 100, α = 0,05, t₉₉=1,9842.

Решение.

По формуле (16) получаем следующие результаты:

104,58 ≤ µ ≤ 115,96.

Поскольку в данной задаче выборка представляет собой весьма малую часть генеральной совокупности, поправочный коэффициент почти не влияет на ширину доверительного интервала (проверьте). Если объем выборки превышает 5% генеральной совокупности, то поправочный коэффициент оказывает заметное влияние на ширину доверительного интервала. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Оценка среднемесячного потребления топлива

Данные по продаже бензина марки А-95 тридцатью АЗС за один месяц имеют следующие значения:

=1723,4 т; S = 89,55 т.

Общее количество АЗС, расположенных в городе, равно 300. Постройте 95%-ный доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности.

Решение.

Поскольку =1723,4; S = 89,55, n = 30, N = 300 и t₂₉= 2,0452 (для доверительного уровня, равного 95%), то с учетом поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности получаем следующие результаты:

1691,62 ≤ µ ≤ 1 755,18.

Объем выборки в этой задаче равен 10% объема генеральной совокупности, поэтому поправочный коэффициент оказывает небольшое влияние на ширину доверительного интервала (проверьте).

Оценка доли признака

При выборе без возвращения доверительный интервал для доли признака, имеющий доверительный уровень, равный (1-α)×100%, вычисляется по формуле (17):

(17)

Пример 3.Проиллюстрируем применение поправочного коэффициента при вычислении доверительного интервала для доли признака в конечной генеральной совокупности при следующих исходных данных:

N= 5000; n = 100; p_n=10/100 = 0,10; α = 0,05; Z= 1,96.

Решение.

По формуле (17) получаем следующие результаты:

= 0,10 ± 1,96×0,03×0,99 = 0,10 + 0,0582

0,0418 ≤ p ≤0,1582.

В рассмотренной задаче выборка представляет собой очень маленькую часть гене­ральной совокупности, поэтому поправочный коэффициент почти не влияет на ширину доверительного интервала (проверьте).

Поиск по сайту: