Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности

Таблица расстановки понятий по учебным элементам структуры теста МА–Т–02 «Числовая последовательность и ее предел»

№	Название понятия	УЭ
	Числовая последовательность
	Общий член числовой последовательности
	Рекуррентный способ задания числовой последовательности
	График числовой последовательности
	Сумма двух числовых последовательностей
	Разность двух числовых последовательностей
	Произведение двух числовых последовательностей
	Частное двух числовых последовательностей
	Ограниченность снизу (сверху)
	Неограниченность снизу (сверху)
	Ограниченная числовая последовательность
	Неограниченная числовая последовательность
	Возрастающие, неубывающие, невозрастающие, убывающие числовые последовательности, монотонные числовые последовательности, немонотонные числовые последовательности	19,20
	Периодические числовые последовательности
	ε- окрестность числа a
	ε- окрестность
	ε- окрестность
	ε-окрестность
	Предел числовой последовательности
	Сходящаяся числовая последовательность
	Расходящаяся числовая последовательность
	Бесконечно большие числовые последовательности
	Бесконечно малые числовые последовательности
	Число e
	Подпоследовательность (частичная последовательность) числовой последовательности
	Предельная точка числовой последовательности
	Нижний (верхний) предел числовой последовательности
	Фундаментальная последовательность (последовательность Коши)

Таблица расстановки утверждений по учебным элементам структуры теста МА–Т–02 «Числовая последовательность и ее предел»

№	Название утверждения	УЭ
	Геометрический смысл предела
	Единственность предела числовой последовательности
	Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности
	Свойства бесконечно малых и бесконечно больших числовых последовательней
	Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательности
	Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности
7.1	Теорема о пределе сходящихся числовых последовательностей
7.2	Теорема о пределе разности сходящихся числовых последовательностей
7.3	Теорема о пределе произведения сходящихся числовых последовательностей
7.4	Теорема о пределе частного сходящихся числовых последовательностей
	Теоремы о предельном переходе в равенствах и неравенствах
	Признак сходимости монотонной числовой последовательности
	Лемма о стягивающихся отрезках
	Теорема о существовании предела числовой последовательности
	Теорема о пределе частичной последовательности	26,27
	Лемма Больцано-Вейерштрасса
	Теорема о существовании предельной точки у ограниченной числовой последовательности	26,27
	Свойства фундаментальных числовых последовательностей
	Вспомогательный критерий сходимости
	Критерий сходимости Коши

Таблица расстановки умений по учебным элементам структуры теста МА–Т–02 «Числовая последовательность и ее предел»

№	Название умения	УЭ
Исследовать числовую последовательность на
	Ограниченность
	Неограниченность
	Монотонность
	Немонотонность
	Периодичность
	Сходимость
	Расходимость
Определятьявляется ли последовательность
	Бесконечно малой
	Бесконечно большой
	Фундаментальной
Находить
	Формулы общего члена по известному рекуррентному соотношению
	Номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в заданную ε-окрестность числа
	Номер наибольшего и наименьшего членов последовательности
	Предел числовой последовательности	13,15
	Предельные точки числовой последовательности
	Верхний и нижний пределы числовой последовательности
Уметь раскрывать неопределенности вида

I. Понятие числовой последовательности

1 Понятие числовой последовательности. Общий член числовой последовательности. График числовой последовательности

Понятия

1. Числовая последовательность – функция натурального аргумента. Область определения этой функции – все действительные числа.

2. Общий член числовой последовательности. является общим членом числовой последовательности, заданной функцией .

4. График числовой последовательности это множество точек .

Умения

1. Найти общий член последовательности f(x)=[x] и описать вид графика.

Решение:

Так как последовательность – это функция натурального аргумента, значит, целая часть от х будет равна самому х. То есть общий член этой числовой последовательности . А график представляет собой отдельные точки вида , где k натуральное.

2. Может ли график числовой последовательности совпадать с графиком непрерывной на всей числовой оси функции?

Ответ:

Нет. Так как график последовательности это всегда отдельно стоящие точки с натуральной абсциссой, а график непрерывной на всей числовой оси функции проходит и через точки с ненатуральной абсциссой.

3. Может ли график последовательности проходить через точку ?

Ответ.

Да, может. Например, график последовательности при .

4.Является ли данная последовательность числовой последовательностью?

Решение:

Если приравнять , то получим, что для этой последовательности n не является натуральным, следовательно, она не является числовой последовательностью.

5. Дана числовая последовательность {0,1,2,3…}

Среди этих вариантов выбрать общий член для данной последовательности:

Решение:

При первый вариант ответа нам не подходит, так как получаем 1, а у нашей последовательности первый член равен 0.

При второй вариант нас не удовлетворяет, так как получаем , а второй член нашей последовательности равен 1.

При четвертый вариант ответа не подходит нам, так как получаем 3, а в нашей последовательности третий член равен 2.

2 Рекуррентный способ задания числовой последовательности, нахождение формулы общего члена по рекуррентному соотношению

Понятия

3. Рекуррентный способ задания числовой последовательности.Если каждый член числовой последовательности выражается через один или несколько предыдущих, то говорят, что эта последовательность задана рекуррентно.

К сожалению, общего алгоритма нахождения формулы общего члена по рекуррентному соотношению нет. Обычно выписывают несколько первых членов и пытаются установить закономерность. Либо выдвигают какую-либо гипотезу, а потом доказывают получившуюся формулу по методу математической индукции.

Умения

1. Найти общий член последовательности , где , x₁=2.

Решение:

Распишем формулу для x_n

.

То есть, мы получили формулу общего члена .

2. Докажите, что общим членом последовательности , где , x₁=1 будет

.

Решение:

Для получим , верно.

Пусть для условие выполняется, то есть .

Рассмотрим n=k+1

.

Таким образом, по методы математической индукции, получаем, что формулой общего члена действительно является .

3. Дана числовая последовательность, заданная рекуррентно

Найти формулу общего члена для данной последовательности.

Решение:

Выразим через рекуррентную формулу :

Выразим :

…

Формула общего члена данной последовательности будет иметь вид:

3 Ограниченные и неограниченные числовые последовательности

Понятия

9. Числовая последовательность ограниченна снизу ; числовая последовательность ограниченна сверху .

10. Числовая последовательность неограниченна снизу ; Числовая последовательность неограниченна сверху .

11. называется ограниченной числовой последовательностью, если .

12.Последовательность - неограниченная числовая последовательность, если

.

Определять ограниченность (неограниченность) последовательности можно построением графика или просто рассуждая. В разных случаях по-разному. Разберем примеры.

Умение

1. Является ли ограниченной последовательность ?

Решение:

Заметим, что все члены последовательности лежат на параболе, ветки которой направлены вниз, то есть члены этой последовательности не превышают значения ординаты вершины этой параболы. Следовательно, эта последовательность ограниченна сверху. Снизу она не ограниченна, так как ветки этой параболы уходят в минус бесконечность, т.е. какое бы мы число не взяли, всегда найдутся члены последовательности, которые меньше этого числа.

2. Какой является последовательность , где ?

Решение:

Прикинем, как пойдет график данной последовательности. и т.д. То есть несложно заметить, что при нечетных k последовательность уходит в минус бесконечность, а при четных в плюс бесконечность. Ни сверху, ни снизу мы ее ограничить никаким числом не можем, следовательно, данная последовательность неограниченная.

3.Исследовать на ограниченность числовую последовательность

Доказать что данная числовая последовательность ограничена.

Решение:

4. Исследовать на неограниченность числовую последовательность

Доказать что данная числовая последовательность неограниченна.

Решение:

последовательность является бесконечно большой, а является неограниченной.

5. Дана последовательность

Доказать, что:

ограничена снизу и неограничена сверху при ,

неограничена снизу и ограничена сверху при .

Решение:

Рассмотрим

Очевидно, что эта последовательность ограничена снизу и неограничена сверху, так как добавляя к 1 число достаточно много раз, мы превысим любое заранее заданное число.

Рассмотрим

Данная последовательность неограниченна снизу и ограничена сверху по аналогичной причине.

4 Периодические числовые последовательности

Понятия

14. Периодической числовой последовательностью называется последовательность, для которой для любого n выполняется равенство , где – период, k любое натуральное число.

Умения

1. Является ли периодической последовательность , где ?

Решение.

Чтобы легче было определить ее периодичность или непериодичность вычислим несколько первых членов, начиная с первого. Получаем -2 -2 2 2 2 -2 -2 -2 2 2 2 -2 -2 -2…. По первым членам последовательности видно, что она периодична и период равен 6. Но мы можем ошибиться, поэтому необходимо проверить нашу гипотезу. Рассмотрим y_k+6.

. Итак, мы подтвердили, что последовательность является периодической и ее период равен 6.

2. Найти период последовательности .

Решение.

Выпишем несколько первых членов последовательности:

1, -1, 0, -1, 1, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 0…

Похоже на то, что периодом является число 6. Проверим это .

Получаем, что , то есть периодом действительно является 6.

3. Исследовать числовую последовательность на периодичность.

Дана последовательность

Исследовать ее на периодичность.

Решение.

Эта функция является периодической, так как

является периодической, имеет период 1:

1 так же является периодом для ,

II. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

5 Понятие бесконечно малой числовой последовательности

Понятия

23. Последовательность называется бесконечно малой, если . (1)

То есть, эта последовательность стремится к нулю.

Умения

1. Является ли последовательность , где бесконечно малой?

Решение.

Зафиксируем произвольное ε>0. Модуль x_n должен быть меньше ε, но наша последовательность состоит лишь из положительных членов, поэтому можно брать без модуля. Итак, . То есть, .

Мы смогли найти , удовлетворяющее условию (1), значит, наша последовательность является бесконечно малой.

2. Является ли бесконечно малой последовательность , где ?

Решение.

Зафиксируем произвольное . Все члены последовательности опять положительны, поэтому можно их рассматривать без модуля. . При маленьких ε, 2-3ε будет больше 0, то есть . Значит, при таких ε мы не можем брать n, которые больше , то есть для таких ε условие (1) не выполняется, так как мы не сможем найти , такое, что . Значит, она не является бесконечно малой.

3. Дана числовая последовательность .

Доказать, что она является бесконечно малой.

Решение.

6 Понятие бесконечно большой числовой последовательности

Понятия

22. Числовая последовательность называется бесконечно большой, если .

Умения

1. Доказать, что последовательность , где является бесконечно большой.

Решение.

Зафиксируем произвольное . При натуральных n все члены последовательности положительные, значит она не может стремиться к минус бесконечности, таким образом, докажем, что она стремится к плюс бесконечности.

.

Итак,

Значит, при дискриминант меньше 0, то есть все члены последовательности удовлетворяют условию. Теперь пусть . Тогда , то есть можно взять . Таким образом, для всех положительных n мы нашли , которое удовлетворяет условию (2), значит, данная последовательность является бесконечно большой.

2. Дана числовая последовательность .

Доказать, что она является бесконечно большой.

Решение.

Начиная с номера , данная числовая последовательность будет являться бесконечно большой.

7 Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей

Утверждения

4. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших числовых последовательностей:

1^о. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

2^о. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

3^о. Сумма двух бесконечно больших последовательностей есть последовательность бесконечно большая.

4^о. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

5^о. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

6^о. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть последовательность бесконечно малая.

7^о. Произведение сходящейся последовательности на бесконечно малую последовательность есть последовательность бесконечно малая.

8^о. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

9^о. Модуль бесконечно малой последовательности есть последовательность бесконечно малая.

Связь сходящейся и бесконечно малой последовательности.

Последовательность сходится к числу а, тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой последовательностью.

сходится и .

Умения

1. Какой будет последовательность , где ?

Решение.

является бесконечно малой последовательностью, т.к. , то есть . А sinn последовательность ограниченная, следовательно, по свойству (5) последовательность , где будет бесконечно малой.

2. Будет ли бесконечно малой последовательностью последовательность , где ?

Решение.

Последовательности , где и y_n, где являются бесконечно малыми последовательностями (из предыдущих примеров), а значит по свойству (3) их разность будет тоже являться бесконечно малой последовательностью.

3. Если последовательность является бесконечно малой, то что можно сказать о последовательности ?

Решение.

По свойству (8), последовательность сходится к числу а тогда и только тогда, когда последовательность является бесконечно малой последовательностью, следовательно, последовательность должна сходиться к 4.

8 Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми числовыми последовательностями. Связь между бесконечно большой и неограниченной числовой последовательностью

Утверждения:

5. Если последовательность является бесконечно малой, то последовательность является бесконечно большой и наоборот.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, обратное, вообще говоря, неверно.

Умения

1. Какой будет являться последовательность где ?

Решение.

.

- бесконечно малая последовательность, - ограниченная, то есть их произведением будет являться бесконечно малая последовательность. Но так как мы рассматриваем

то в итоге мы получаем бесконечно большую последовательность.

III. Сходящиеся числовые последовательности

9 Предел числовой последовательности. Геометрический смысл предела числовой последовательности

Понятия

19. Предел числовой последовательности. Числовая последовательность имеет конечный предел а, если .

Утверждения

1. Геометрический смысл предела. Если предел последовательности равен ато в любой окрестности этой точки будет содержаться бесконечное количество членов последовательности, а вне ее лишь конечное.

Умения

1. Доказать, чтопоследовательность сходится и найти ее предел.

Решение.

Нетрудно заметить, что при больших n числитель и знаменатель будут практически одинаковыми, то есть можно предположить, что пределом этой последовательности будет 1. Проверим. Для этого достаточно показать, что последовательность бесконечно малая.

. – бесконечно большая, значит, будет бесконечно малой, и тоже. Таким образом, 1 является пределом числовой последовательности

10 Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности. Их свойства

Понятия

20. Если последовательность имеет конечный предел, то она сходящаяся.

21. Если последовательность не имеет конечного предела, то она расходящаяся.

Свойства сходящихся и расходящихся числовых последовательностей:

1^о.Последовательность может иметь не более одного предела.

2^о.Сходящаяся последовательность ограничена.

3^о. Сумма двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся и ее предел равен сумме пределов слагаемых.

4^о. Разность двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся и ее предел равен разности пределов этих последовательностей.

5^о. Произведение двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся и ее предел равен произведению пределов сомножителей.

6^о. Частное двух сходящихся последовательностей (при условии, что предел делителя не равен 0) есть последовательность сходящаяся и ее предел равен частному пределов этих последовательностей.

Умения

1. Пусть даны 3 сходящиеся последовательности , и . Их пределы соответственно равны 1, 5, 4. Что можно сказать о последовательности ?

Решение.

Из свойств о разности и произведении двух сходящихся последовательностей можно сделать вывод, что данная последовательность сходится. Из тех же свойств получаем, что ее предел равен .

2. Найти предел последовательности

Решение.

- бесконечно малая последовательность, то есть ее предел равен 0.

, предел равен 0, так как она тоже является бесконечно малой. И, наконец, предел равен 4. Таким образом, получаем, что предел равен .

3. Верно ли, что последовательность имеет пределы 1 и -1?

Решение.

Из первого свойства следует, что последовательность не может иметь двух пределов, то есть это утверждение не верно. Данная последовательность вообще не имеет предела, так как если рассмотреть ε – окрестность 1 и -1 при ε=0.5, то получим, что и в том и в другом случае и в окрестности и за ее пределами бесконечное число членов последовательности, что противоречит геометрическому смыслу предела.

4. Дана числовая последовательность

Доказать, что она сходится.

Решение.

Так как последовательность содержит , нам необходимо рассмотреть пределы при и ,

Получаем:

При

При

Из того, что значения пределов равны, следует, что исходная числовая последовательность сходится.

5. Дана числовая последовательность

Доказать, что она расходится.

Решение.

Так как последовательность содержит , нам необходимо рассмотреть пределы при и ,

Получаем:

При

При

Так как значения пределов не равны, значит, что числовая последовательность расходится.

11 Нахождение номера элемента, начиная с которого все члены последовательности попадают в заданную ε-окрестность числа, символов - , + и

Понятия

15. ε- окрестность числа а. , где .

16. ε- окрестность . , где .

17. ε- окрестность . , где .

18. ε-окрестность . , где .

Умения

1.Найти номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в ε-окрестность 3, при .

Решение.

В общем случае, нам надо найти номер , который удовлетворяет условию ,где а – это число, в ε- окрестность которого должны попадать все члены последовательности , ε>0.

Сформулируем это условие для нашей конкретной задачи: найти , такое, что

. Итак,

Так как n натуральное, то . Значит, =4.

2. Найти номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в ε-окрестность + , при .

Решение.

Нужно найти номер , который удовлетворяет условию , ε>0.

В данном конкретном случае мы ищем такое, что .

Итак,

Так как n натуральное, то , то есть =100.

( Для - условие будет , ε>0)

3. Найти номер, начиная с которого все члены последовательности попадают в ε-окрестность , при .

Решение.

Нужно найти номер , который удовлетворяет условию , ε>0.

В нашем случае надо найти номер такой, что .

Значит, =11, так как неравенство строгое.

4. Дана последовательность

Найти номер, начиная с которого данная последовательность находится в -окрестности .

Решение.

Начиная с последовательность будет попадать в -окрестность точки .

5. Дана последовательность

Найти номер, начиная с которого данная последовательность находится в -окрестности

Решение.

Ответ: начиная с последовательность будет попадать в -окрестность точки .

12 Необходимое условие сходимости числовой последовательности. Единственность предела числовой последовательности

Утверждения

2. Числовая последовательность может иметь не более одного предела.

3. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Всякая сходящаяся числовая последовательность является ограниченной, но не всякая ограниченная числовая последовательность является сходящейся.

Умения

1. Верно ли, что любая ограниченная последовательность является сходящейся?

Решение.

Нет, не верно. Приведем пример. Последовательность является ограниченной, но у нее нет предела (при любом а,любом n и либо четные, либо нечетные члены последовательности не будут попадать в ε-окрестность числа а), то есть она не является сходящейся.

2. Имеет ли предел числовая последовательность, у которой две предельные точки?

Решение.

Если функция имеет предел а, то в любой его ε-окрестности содержится бесконечно много членов последовательности, а за ее пределами лишь конечное. Если у последовательности 2 предельные точки, то если за ε взять треть расстояния между этими точками, то вне ε-окрестностей этих точек будет бесконечно много членов последовательности, то есть эти точки не могут быть пределами. Если предположить, что пределом является какое-то другое число, то если за ε взять треть минимального из расстояний от этого числа до двух предельных точек, то получим, что вне ε-окрестности этого числа бесконечно много членов последовательности. Таким образом, такая последовательность предела не имеет.

13 Предел суммы, разности, произведения и частного двух сходящихся числовых последовательностей

Понятия

5. Суммой двух числовых последовательностей и будет последовательность .

6. Разностьюдвух числовых последовательностей и будет последовательность .

7. Произведением двух числовых последовательностей и будет последовательность .

8. Частнымдвух числовых последовательностей и будет последовательность , естественно при условии, что никакое из не равно 0.

Утверждения

7.1. Если , , то сходится и .

7.2.Если , , то сходится и .

7.3.Если , , то сходится и .

7.4. Если , , , то сходится и .

Умения

1. Найти предел последовательности , где .

Решение.

.

. .

2. Найти предел последовательности , где .

Решение.

;

, , по свойству предела суммы последовательностей .

Тогда по свойству предела частного последовательностей .

14 Предельный переход в равенствах и неравенствах

Утверждения

8. Теоремы о предельном переходе в равенствах и неравенствах:

1. Если , тогда .

2. Если , тогда .

3. Если , тогда .

Умения

1. Найти предел последовательности , если для любых натуральных n выполняется .

Решение.

Очевидно, что при n, стремящемся к бесконечности, последовательности и стремятся к 0. Но из свойства (3) , то есть

, значит, .

2. Может ли предел последовательности быть больше чем 3?

Решение.

.

Таким образом, по свойству (1), . Значит, предел этой последовательности не может быть больше 3.

15 Нахождение предела последовательности, заданной рекуррентным соотношением

К сожалению, общего алгоритма решения не существует, к каждой конкретной ситуации приходится подбирать свое решение, но рассмотрим несколько возможных примеров

Умения

1. Найти предел последовательности , где , а .

Решение.

Распишем формулу n-го члена

Тогда .

( равен 1, так как каждый раз при увеличении n мы уменьшаем расстояние между x_n и 1 ровно в половину. Мы будем бесконечно приближаться к 1, но никогда ее не достигнем.)

2. Сходится ли последовательность , где , x₁=2?

Решение.

Распишем формулу для x_n,

Тогда

Предел не является конечным, то есть данная последовательность расходится.

3. Дана последовательность определяется формулами , , . Найти .

Решение.

Выразим через рекуррентную формулу :

Выразим :

…

Формула общего члена данной последовательности будет иметь вид:

Пределчисловой последовательности равен .

16 Раскрытие неопределенностей вида и

Чаще всего для раскрытия неопределенностей применяются различные алгебраические преобразования. Также полезно знать, что

.

Где и многочлены степени k и m соответственно, а q и p их старшие степени.

Умения

1.Найти предел последовательности , г