Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

Функция с областью определения D называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия:

1) функция определена в точке , т.е. ;

2) существует ;

3) .

На e-языке это определение можно записать следующим образом:

.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке : .

Итак, функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если в точке нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3), то точка называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

а) существует, но функция не определена в точке или нарушено условие . В этом случае называется точкой устранимого разрыва;

б) если существуют односторонние пределы и , но , то называется точкой разрыва 1-го рода;

в) в остальных случаях называется точкой разрыва 2-го рода.

Свойства функций, непрерывных в точке

Если функции и непрерывны в точке , то также непрерывны в этой точке их сумма , разность , произведение , а также частное при условии, что .

Все многочлены являются непрерывными функциями во всех точках числовой прямой.

Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена (элементарной функцией называется функция, которая может быть выражена через функции С (С – константа), с помощью арифметических действий и образования сложной функции).

Замечание. Поскольку , то , т.е. для непрерывной функции символы предела и функции перестановочны.

Пример.

Доказать, что функция является непрерывной.

Решение.

Проверим необходимое и достаточное условие непрерывности:

Оно выполняется, значит, функция является непрерывной.

Пример.

Найти точки разрыва функции

и исследовать их характер.

Решение.

Функция имеет разрыв в точке , т.к. в этой точке она не определена (рис.14). Найдем односторонние пределы:

.

Эти пределы не равны. Следовательно, точка – точка разрыва первого рода. На рисунке видно, что функция делает скачок. Этот скачок равен 2.

Пример.

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение.

Функция имеет разрыв в точке , т.к. в этой точке она не определена. Найдем односторонние пределы, используя первый замечательный предел:

.

Эти пределы равны, следовательно, точка – точка устранимого разрыва. Данную функцию можно доопределить до непрерывной, если наложить на нее дополнительное условие: .

Пример.

Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Решение.

Точка является точкой разрыва второго рода, так как

.

Заметим, что второй односторонний предел конечен .

Задачи.

Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке своей области определения:

6.95. ; 6.96. ;

6.97. ; 6.98. ;

6.99. ; 6.100. ;

6.101. ; 6.102. .

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной:

6.103. ; 6.104. ;

6.105. ; 6.106. ;

6.107. ; 6.108. ;

6.109. ; 6.110. ;

6.111. ; 6.112. .

Исследовать на непрерывность функции:

6.113. 6.114.

Исследовать на непрерывность и построить график функции :

6.115. 6.116.

6.117.

6.118.

Поиск по сайту: