Последовательность называется возрастающей (соответственно убывающей), если для любого номера n выполняется неравенство (соответственно ); неубывающей (соответственно невозрастающей), если для любого номера n выполняется неравенство (соответственно ).
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Последовательность называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если существует такое число М (соответственно т), что для любого номера n выполняется неравенство (соответственно ). Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Пример.
Доказать, что последовательность является монотонной.
Решение.
Рассмотрим разность
.
Полученное выражение больше нуля для любого натурального n. Следовательно, . По определению данная последовательность является возрастающей.
Задачи.
Написать первые пять членов последовательности:
6.1. ; 6.2. ;
6.3. ; 6.4. .
Написать формулу n-ого члена последовательности:
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
Какие из последовательностей являются монотонными, строго монотонными, ограниченными:
6.10. ; 6.11. ;
6.12. ; 6.13. ;
6.14. ; 6.15. ;
6.16. ; 6.17. .
Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности , записывается , если для любого, сколь угодно малого , существует номер такой, что при выполняется неравенство .
На e-языке это определение можно записать следующим образом:
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, у которой нет предела, называется расходящейся.
Интервал называется e-окрестностью точки а. Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если в любой его e-окрестности содержатся почти все члены , или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.
Теоремы о сходящихся последовательностях
1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
3. Предел постоянной равен этой постоянной, т.е. .
4. Пусть существуют пределы последовательностей и ( и ). Тогда:
а) существуют пределы последовательностей , причем