Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

kн.с – коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма составит

S1=P(1+ic).

Еще через год это выражение применится уже к сумме S1:

S2=S1(1+ic)=P(1+ic)^2 и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит

(3.1)

Множитель наращения соответственно равен

(3.2)

При начислении простых процентов он составил бы по формулам 1.5 и 1.7:

kн=(1+ni).

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу наглядно можно представить с помощью графиков.

Если срок ссуды не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

(3.3)

где n=na+nb;

na – целое число лет;

nb – оставшаяся дробная часть года;

На практике часто предпочитают пользоваться формулой 3.1 с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь ввиду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин.

Предположим теперь ,что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n1,n2,…,nN – продолжительность интервалов начисления в годах; i1,i2,…,iN – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

(3.4)

Если все интервалы одинаковы (как и бывает обычно на практике) ставка процентов одна и та же, формула 3.4 принимает вид:

. (3.5)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле 3.1, получаем выражение для определения наращенной суммы:

(3.6)

где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn – целое число интервалов начисления, l – часть интервала начисления), то выражение 3.6 принимает вид:

(3.7)

для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части – формула простых процентов.

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное. Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т.е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m – к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

(3.8)

для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

из этой формулы следует;

тогда для наращенной суммы получаем

(3.9)

(3.10)

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (при одинаковых n,j,P).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того что известно и что требуется найти.

Так из формулы 3.1 получаем

(3.11)

также из формулы 3.1 имеем

(3.12)

из формулы 3.6

(3.13)

применяя к обеим частям формулы 3.1 операцию логарифмирования, получаем

(3.14)

подобным же образом из формулы 3.6 получаем

(3.15)

Пример10. первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение.

По формуле 1.7 для простых процентных ставок имеем:

S=200 000 (1+5*0.28)=480 000 руб.

По формуле 3.1 для сложных процентов

S=200 000 (1+0,28)^5= 687 194,7 руб.

По формуле 3.6 для начисления по полугодиям:

S=200 000 (1+0,14)^10= 741 444,18 руб.

Из той же формулы для поквартального начисления:

S=200 000(1+0,07)^20=773 936,66 руб.

По формуле 3.9 для непрерывного начисления

S=200 000e^1.4=811 000 руб.

Пример11.

Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 25% годовых.

Решение.

По формуле 3.3 получаем

S=50 000 000(1+0,25)^2(1+0.125)= 87 890 625 руб.

Для второго способа начисления используем формулу 3.1 с нецелым показателем степени

S=50 000 000(1+0.25)^2.5=87 346 390 руб.

Пример 12.

Определить современную величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение.

Воспользуемся формулой 3.11

P=100 000 000/(1+0.24)^3=52 449 386 руб.

Пример 13.

За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увеличится до 200 000 000руб., если:

А) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28% годовых;

Б) проценты будут начисляться ежеквартально?

Решение.

По формулам 3.14 и 3.15 имеем:

А) n=ln(200 000 000/50 000 000)/ln(1+0.28)=5.6 года

Б) n=ln(200 000 000/50 000 000)/4ln(1+0.07)=5.1 года

Пример 14.

Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение.

По формулам 3.12 и 3.13 вычисляем:

ic=

Поиск по сайту: