Конечные элементы электрических цепей

Рассмотрим применение данного метода на примере электрических цепей. Как правило, она включает резистивные (R,G) и динамические (L,C) пассивные элементы, а также источники энергии: независимые источники напряжения E и тока J, управляемые источники напряжения ИНУН, ИНУТ и тока ИТУН, ИТУТ. Каждый из этих элементов можно рассматривать как конечный элемент электрической цепи или компонент схемы. Множество таких элементов образует элементный базис. В качестве конечного элемента цепи можно рассматривать обобщенную электрическую ветвь и ее частные случаи (рис. 15).

Рис. 15

Для каждого компонента схемы можно на основании законов Ома и Кирхгофа записать компонентное уравнение:

— резистивный элемент R

, , ,

_j- _i+ ;

— индуктивный элемент L

, , ,

— емкостной элемент C

, , ,

- короткозамкнутая ветвь _i- _j=

- источник тока I =J

- источник напряжения _i- _j+ =

- обобщенная ветвь

- R- ветвь _i- _j=

- G- ветвь _i- _j)

Состояние электрической цепи зависит не только от элементов схемы, но и от способа их соединения. Для узлов и контуров схемы записывают уравнения электрического равновесия на основании законов Кирхгофа. Они выражают связь между напряжениями и токами ветвей и называются топологическими. Это определяющие уравнения. Анализ электрических цепей проводится методами контурных токов и узловых потенциалов. Предпочтение отдается последнему, так как при формировании узловых уравнений нет необходимости выбирать взаимно независимые контуры цепи.

В методе узловых потенциалов взаимно независимые уравнения записываются на основании первого закона Кирхгофа. Искомые переменные - узловые потенциалы, которые образуют однородный координатный базис узловых уравнений. Однако в нем нельзя описать короткозамкнутую ветвь, содержащую только идеальный источник ЭДС, схемы с операционными усилителями и некоторыми типами управляемых источников. Такие элементы называются нерегулярными. Чтобы получить более универсальный метод, однородный координатный базис расширяют за счет токов ветвей нерегулярных элементов. Систему уравнений в новом базисе называют системой расширенных узловых уравнений, а метод анализа электрических цепей — модифицированным методом узловых потенциалов или методом расширенных узловых уравнений (РУУ).

При формировании РУУ каждый конечный элемент схемы необходимо представить в матричной форме записи. Например, для резистора R, заключенного между узлами i и j, справедливы соотношения, которые в матричной форме записывают следующим образом:

i j R

=

i j

. = .

Матричные уравнения для элемента R называют ‘’штампом’’ резистора, а матрицу коэффициентов — матрицей жесткости элемента.

В таблице приведены штампы элементов наиболее часто встречающихся в линейных электрических цепях.

Ветвь, ток которой выражают через узловые потенциалы и проводимость, называют G (Y)- ветвь. Ветвь, ток которой в система РУУ является искомой переменной, называют R (Z)- ветвью.

При формировании РУУ в качестве узлов рассматривают места соединений двух и более элементов схемы, а в качестве ветвей - каждый двухполюсный элемент. Схему анализируют поэлементно, осуществляя прямое суммирование матриц — “штампов” этих элементов. Первые У-1 строк соответствуют записи первого закона Кирхгофа, остальные — компонентные уравнения R- ветвей и нерегулярных элементов. Для примера получим систему РУУ для схемы, изображенной (рис. 16):

R₁ = 20 Ом; R₂ = 40 Ом; R₃ = 10 Ом; R₄ = 8 Ом; E = 100 Ом.

Рис. 16

Схема содержит три незаземленных узла, четыре R- элемента и один нерегулярный элемент Е. Следовательно, матрица жесткости элементов имеет размерность , в которой резисторы R будем учитывать как G-ветвь.

Запишем выражение, учитывающее в системе РУУ только резистор R₁:

Далее аналогично учитываем резистор R₂:

После учета R₃ имеем:

После учета R₄ имеем:

Окончательно с учетом источника Е₁ получаем систему РУУ:

,

где G₁=1/R₁=1/20=0.05 См; G₃ = 1/R₃ = 1/10 = 0.10 Cм;

G₂=1/R₂=1/40=0.025 См; G₄ = 1/R₄ = 1/8 = 0.125 См;

G₁+G₂+G₃=0.05+0.025+0.1=0.175 См;

G₂+G₄=0.025+0.125=0.15 См.

Решение этой системы дало следующий результат: ₁=100 В; ₂=29,268 В; ₃=4,878 В; I₁=3,536 A.

Рассмотрим алгоритм формирования узловых уравнений в однородном базисе. В качестве конечного элемента удобнее взять обобщённую к-ю ветвь (или её частные случаи), присоединенную к паре узлов i и j (рис. 1). Матрица жесткости в этом случаи есть матрица узловых и взаимных проводимостей G_y. Узловые проводимости учитываются со знаком плюс, взаимные — со знаком минус. Правая часть уравнений есть узловой ток J_y, равный алгебраической сумме токов J источников тока и токов G_к, E_к источников ЭДС (со знаком плюс берется ток, направленный к рассматриваемому узлу). Каждая строка системы соответствует первому закону Кирхгофа, поэтому направленный от i к j узлу ток I_к учитывается в i строке с положительным знаком, а в j строке с отрицательным знаком. Окончательно k-я ветвь в системе узловых уравнений представляют в виде:

и называют “штампом” ветви. Это представление соответствует рис. 1.

Матрицы узловых проводимостей G_y и токов J_y получают прямым суммированием “штампов” ветвей. Для этого информацию о ветвях удобнее свести в таблицу, в которой указывают номера узлов, между которыми включена ветвь (первый узел соответствует началу ветви) и параметры R_к, J_к, E_к.

Рассмотрим электрическую цепь, параметры которой заданы в виде таблицы:

G₁=0.500 G₁E₁=12.5 G₃ = 0.038 G₃E₃ = 0.589 G₅ = 0.056 G₅E₅ = 0

G₂=0.017 G₂E₂=0.183 G₄ = 0.200 G₄E₄ = 0 G₅ = 0.500 G₆E₆ = 0

Составим по ней штампы ветвей:

1-я ветвь

2-я ветвь

3-я ветвь

4-я ветвь

5-я ветвь

6-я ветвь

Узловая матрица проводимостей имеет размерность , узел “0”- базовый. Учитываем в этой матрице

- первую ветвь

- вторую ветвь

- третью ветвь

- четвертую ветвь

- пятую ветвь

- шестую ветвь

Следовательно, узловые уравнения в матричной форме записи имеют вид:

Решая эту систему, находим:

=22,72 В; =24,20 В; =22,68 В.

Решение задач в однородном базисе обусловлено хорошей численной обусловленностью решаемой системы уравнений (диагональные элементы матрицы узловых проводимостей имеют наибольшее значения). В качестве решения получают вектор независимых узловых потенциалов.

Сравнение РУУ с последней системой показывает, что матрица первой имеет сравнительно высокий порядок и весьма разрешена. Решение таких систем требует специальных алгоритмов.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Расчётно-графическая работа №1

Поиск по сайту: