МАТРИЧНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Любая электрическая цепь характеризуется понятиями ветвь, узел, контур и подчиняется законам токов (ЗТК) и напряжений (ЗНК) Кирхгофа. Они являются линейными алгебраическими уравнениями для напряжений ветвей, токов узлов и не зависит от характеристик ветвей.

Для большинства сложных электрических схем можно использовать модели в виде взаимного соединения двухполюсников (элементов с двумя выводами), с определенными характеристиками. Полное описание схемной модели должно содержать характеристики ветвей, опорные направления для токов ветвей и напряжений, способы соединения ветвей. Свойства сложных схем, которые связаны только с соединениями ветвей, рассматривает топология схем. Это одно из направлений теории графов.

Естественным и простым путем для описания информации о сложной электрической схеме является изображение её в виде направленного графа (рис. 2, 5, 7, 9). Графом называется множество узлов (вершин) и множество ветвей (рёбер). Переход от схемы к графу осуществляется в соответствии со следующим правилом: каждый элемент с двумя выводами заменяется ветвью, имеющей стрелку в том направлении, в котором принимается положительное направление тока через эту ветвь. Эта стрелка служит также для обозначения опорного направления напряжения ветви: стрелка направлена от вывода с положительным потенциалом. При этом ветвь с идеальным источником ЭДС сохраняется. Ветви с идеальными источниками тока не входят в топологическую схему, т.к. внутренняя проводимость таких источников равна нулю и соответственно сопротивление такой ветви равно бесконечности.

Понятия пути, контура, сечения и дерева важны при анализе сложных схем. Контуры являются подграфами, к которым применяются ЗНК, а к сечениям применим ЗТК. Понятие дерева используется для формирования независимых уравнений ЗНК и ЗТК.

Содержащаяся в направленном графе G информация может быть полностью представлена матрицами, удобными для записи в памяти ЭВМ.

Для направленного графа G с q узлами и b ветвями матрицей инциденций (связи) А называется q-1 × b матрица

А = [aij] ,

где aij = 1 , если ветвь j принадлежит I узлу и стрелка направлена от узла i;

aij = -1, если ветвь j принадлежит i узлу и стрелка направлена к узлу i; aij = 0, если ветвь не принадлежит узлу i . Так как ветвь соединяется с двумя раздельными узлами, то каждый столбец матрицы А имеет только один или два ненулевых элемента.

Пусть токи ветвей в схеме будут вектор – столбцом i порядка b×1. Если столбцы матрицы А и строки i принадлежат ветви такого же порядка, то ЗТК может быть записан в виде одного матричного уравнения применительно ко всем узлам:

АI = 0, (11)

где I – вектор-столбец токов обобщённых ветвей размерностью b×1.

Если принять равным нулю потенциал узла схемы, который соответствует вычеркнутой строке матрицы А, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по формуле

U = A^Tφ,(12)

где φ – вектор-столбец потенциалов узлов, размерность (q-1)×1, U– вектор- столбец напряжений обобщённых ветвей, размерность b×1.

Для того чтобы компактно выразить уравнение ЗНК в виде единственного матричного уравнения, необходимо ввести матрицу, называемую основной (главной) матрицей контуров. Это прямоугольная матрица В, строки которой соответствуют связям, а столбцы – ветвям направленного графа электрической схемы. Элементы ее равны нулю, единице, минус единице, если при обходе контура, образованного данной связью и ветвями дерева, вдоль связи ветвь соответственно не входит в контур, входит в контур согласно обхода, входит в контур против обхода. Ориентация контура определяется направлением ветви связи. Таким образом, матрицу токов ветвей связи I_Cнеобходимо рассматривать как матрицу контурных токов I_K, т.е. I_C = I_K.

Второй закон Кирхгофа применительно ко всем независимым контурам может быть выражен в виде матричного уравнения

ВU = 0, (13)

Число ветвей связи, а следовательно, и число главных контуров, для графа G c b ветвями и q узлами равно b - (q - 1).

Подчеркнём, что матрица токов ветвей I определяется через матрицу контурных токов I_К по формуле

I = B^TI_K. (14)

Получить систему узловых и контурных уравнений линейных электрических цепей можно с помощью ЭВМ. Для этого обычно представляют каждую ветвь графа схемы в виде обобщенной ветви (рис. 3). Тогда вместо компонентных уравнений (6) для всех ветвей можно записать обобщённый закон Ома в матричной форме

U = R(I + J) - E; (15)

I = G(U + E) – J,(16)

где RиG– диагональные матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей, Е и J– вектор-столбец источников ЭДС и источников тока, соответственно. Размерность этих векторов b×1.

Совместное решение уравнений (11 – 16) дает возможность записать узловые и контурные уравнения в матричной форме записи:

AGA^Tφ = AJ – AGE, G_yφ_y = J_y;(17)

BRB^T = BE – BRJ; R_кI_к = Е_к.(18)

Здесь G_y -квадратная матрица узловых проводимостей, размерность (q-1)×(q-1);R_к– квадратная матрица сопротивлений контуров, размерность b_C×b_C; J_y - вектор-столбец узловых токов, размерность (q-1)×1; Е_к – вектор-столбец контурных ЭДС, размерность b_C×1.

Решение матричных уравнений (17), (18) для электрической цепи (рис. 1-3) в Mathcad приведено ниже.

При выборе метода расчёта следует сопоставить число решаемых уравнений, которое влияет на необходимый объём памяти ЭВМ и машинное время, сложность формирования задания и программы для ЭВМ, ограничения на типы элементов схемы, которые допускают задание и программа.

Все рассмотренные методы имеют ограничения. Например, если имеются ветви, содержащие только идеальные источники тока, нельзя применять метод контурных токов, ибо такая ветвь имеет бесконечно большое сопротивление. Если ветвь содержит только идеальный источник ЭДС, то её проводимость равна бесконечности, и, следовательно, нельзя применять метод узловых потенциалов. Для устранения этих ограничений, а также для цепей, содержащих управляемые источники, рекомендуется применять метод расширенных узловых уравнений.

Метод узловых потенциалов:

Следовательно, φ₁ = 1,905 В; φ₂ = -0,342 В.

Метод контурных токов:

Следовательно, контурные токи I₂₂ = I₂ = -0,651 A; I₃₃ = I₃ = 0,377 A; I₄₄ = I₄ = 0,543 A.

Для решения матричных уравнений (17, 18) в компьютерных лабораториях кафедры (ауд. 208, 211у) на ПЭВМ установлены две программы: MATRMET – матричные методы анализа цепей синусоидального тока и MATRMPT - матричные методы анализа цепей постоянного тока. Они предусматривают расчет линейных электрических цепей методами узловых и контурных уравнений, обращение матриц, а также арифметические операции с комплексными числами.

Поиск по сайту: